Cho a,b,c,d là các số dương. CMR tồn tại 1 số dương trong 2 số \(2a+b-2\sqrt{cd}\) và \(2c+d-2\sqrt{ab}\)
Cho các số : \(x=2a+b-2\sqrt{cd}\)
\(y=2b+c-2\sqrt{ad}\)
\(z=2c+d-2\sqrt{ab}\)
\(t=2d+a-2\sqrt{bc}\)
với a,b,c,d >0 . CMR : tồn tại ít nhất có 2 số dương trong 4 số trên
Ta có : \(x=2a+b-2\sqrt{cd};y=2b+c-2\sqrt{ad};z=2c+d-2\sqrt{ab};t=2d+a-2\sqrt{bc}\)
\(\Rightarrow x+z=2a+b-2\sqrt{cd}+2c+d-2\sqrt{ab}=\left(a-2\sqrt{ab}+b\right)+\left(c-2\sqrt{cd}+d\right)+a+c=\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{d}\right)^2+a+c>0\)
\(\Rightarrow x+z>0\) => Một trong hai số x và z phải có ít nhất một số dương (1) . Thật vậy , giả sử x<0 , z<0 => x+z<0 => vô lí.
Tương tự ta cũng có : \(y+t=\left(\sqrt{a}-\sqrt{d}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+b+d>0\) \(\Rightarrow y+t>0\) => Một trong hai số y và t phải có ít nhất một số dương (2)
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
Chứng minh rằng trong các số: \(2a+b-2\sqrt{cd};2b+c-2\sqrt{ad};2c+d-2\sqrt{ab};2d+a-2\sqrt{bc}\) có ít nhất một số dương trong đó a,b,c,d là các số dương
Cho a,b,c,d là các số dương
Chứng tỏ có có it nhất hai số dưới đây là số dương
\(x=2a+b-2\sqrt{cd};y=2b+c-2\sqrt{da};z=2c+d-2\sqrt{ab};t=2d+a-2\sqrt{bc}\)
Cho bốn số dương a, b, c, d. Đặt:
x=2a+b-\(2\sqrt{cd}\); y=2b+c-\(2\sqrt{da}\); z=2c+d-\(2\sqrt{ab}\);t=2d+a-\(2\sqrt{bc}\)
CMR: trong bốn số x, y, z, t có ít nhất 2 số dương.
nhấn vào đây nha: [Đại số] Một bài toán chứng minh sự tồn tại. | HOCMAI Forum - Cộng đồng học sinh Việt Nam
hì hì ok nha!! 7655685795325325454364561253454364565464575678568788978676
cho a,b,c,d dương. c/m trong các số :
\(2a+b-2\sqrt{cd}\) ; \(2b+c-2\sqrt{ad}\) ;\(2c+d-2\sqrt{ab}\) ; \(2d+a-2\sqrt{bc}\)
có ít nhất một số dương
cộng 4 biểu thức lại ta có:
\(\left(a-2\sqrt{ab}+b\right)+\left(b-2\sqrt{bc}+c\right)+\left(c-2\sqrt{ca}+a\right)+\left(d-2\sqrt{da}+a\right)+a+b+c+d\)
\(=\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{d}\right)^2+\left(\sqrt{d}-\sqrt{a}\right)^2+a+b+c+d>0\)
g/s 4 biểu thức đó đều âm=>tổng của chúng âm
=>1 trong 4 biểu thức có 1 biểu thức là số dương
chỉ có 1 biểu thức là số dương.
Cho 4 số dương a,b,c,d. Đặt \(x=2a+b-2\sqrt{cd},y=2b+c-2\sqrt{ad},\)
\(z=2c+d-2\sqrt{ab},t=2d+a-2\sqrt{bc}\). Chứng minh rằng trong 4 số x,y,z,t có ít nhất 2 số dương
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=1\) . Cmr
\(\sqrt{\dfrac{ab}{a+b+2c}}+\sqrt{\dfrac{bc}{c+b+2a}}+\sqrt{\dfrac{ca}{a+c+2b}}\le\dfrac{1}{2}\)
Đặt \(\left(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z=1\)
BĐT trở thành: \(\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2+2z^2}}+\dfrac{yz}{\sqrt{y^2+z^2+2x^2}}+\dfrac{zx}{\sqrt{x^2+z^2+2y^2}}\le\dfrac{1}{2}\)
Ta có:
\(x^2+z^2+y^2+z^2\ge\dfrac{1}{2}\left(x+z\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(y+z\right)^2\ge\left(x+z\right)\left(y+z\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2+2z^2}}\le\dfrac{xy}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{xy}{x+z}+\dfrac{xy}{y+z}\right)\)
Tương tự: \(\dfrac{yz}{\sqrt{y^2+z^2+2x^2}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{yz}{x+y}+\dfrac{yz}{x+z}\right)\)
\(\dfrac{zx}{\sqrt{z^2+x^2+2y^2}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{zx}{x+y}+\dfrac{zx}{y+z}\right)\)
Cộng vế với vế:
\(VT\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{zx+yz}{x+y}+\dfrac{xy+zx}{y+z}+\dfrac{yz+xy}{z+x}\right)=\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)=\dfrac{1}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\) hay \(a=b=c\)
trục căn thức ở mẫu của các biểu thức sau
a) \(A=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{2c}}\) trong đó a,b,c là các số dương thỏa mãn điều kiện c là trung bình nhân của 2 số là a,b
b) \(B=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}}\)trong đó a,b,c,d là các số dương thỏa mãn điều kiện ab=cd và a+b khác c+d
Cho a,b,c là các số dương. CMR
\(\frac{a}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}+\frac{b}{\sqrt{2c^2+2a^2-b^2}}+\frac{c}{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}\ge\sqrt{3}\)
Dat \(P=\frac{a}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}+\frac{b}{\sqrt{2c^2+2a^2-b^2}}+\frac{c}{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}\)
Ta co:
\(\frac{a}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}=\frac{\sqrt{3}a^2}{\sqrt{3a^2\left(2b^2+2c^2-a^2\right)}}\ge\frac{\sqrt{3}a^2}{a^2+b^2+c^2}\)
Tuong tu:
\(\frac{b}{\sqrt{2c^2+2a^2-b^2}}\ge\frac{\sqrt{3}b^2}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\frac{c}{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}\ge\frac{\sqrt{3}c^2}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{\sqrt{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{3}\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=c\)