BD = 24

CD = 24

ABCEHD

+) Kẻ AE là phân giác ngoài của góc BAC

Mà AD là phân giác của góc BAC nên AD vuông góc với AE => tam giác EAD vuông tại A

+) Áp dụng ĐL Pi - ta go trong tam giác vuông AHD có: DH = √AD2−AH2=√452−362=27 cm

+) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông EAD có: AD² = DH. DE => DE = AD² / DH = 45²/ 27 = 75 cm

+)Áp dụng tính chất tia phân giác trong và ngoài tam giác có: BDDC =ABAC =EBEC

Đặt BD = x (0 < x < 40) => CD = 40 - x. Ta có:

x40−x =75−x75+(40−x) (do EB = DE - BD; EC = DE + DC)

=> x. (115 - x) = (40 - x).(75 - x)

<=> 115x - x² = 3000 - 115x + x² <=> x² - 115x + 1500 = 0

=> x = 100 (Loại) hoặc x = 15 (thoả mãn)

Vậy BD = 15 cm hoặc BD = 40 - 15 = 25 cm (Nếu ta đổi vị trí B và C cho nhau)

+ Kẻ AE là là phân giác của góc BAC 

Mà AD là phân giác của góc BAC nên AD vuông góc với AE \(\Rightarrow\)tam giác EAD vuông góc tại A 

 + Áp dụng định lí Pi-ta-go trong tam giác vuông AHD có: \(DH=\sqrt{AD^2-AH^2}=\sqrt{45^2-36^2}=27cm\)

 + Áp dụng hệ thức lượng giác trong tam giác vuông EAD có: \(AD^2=DH.DE\Rightarrow DE=\frac{AH^2}{DH}=\frac{45^2}{27}=75cm\)

 + Áp dụng tính chất phân giác trong và ngoài tam giác có: \(\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{EB}{EC}\)

Đặt: \(BD=x0< x< 40\Rightarrow CD=40-x\), ta có:

\(\frac{x}{40-x}=\frac{75-x}{75+40-x}\)do \(EB=DE-BD;EC=DE+DC\)

\(\Rightarrow x.115-x=40-x.75-x\)

\(\Leftrightarrow115x-x^2=3000-115x+x^2\Leftrightarrow x^2-115x+1500=0\)

\(\Rightarrow x=100\)loại hoặc \(x=15\)thoả mãn

Vậy: \(BD=15cm\)hoặc \(BD=40-15=25cm\). Nếu ta đổi vị trí B và C cho nhau

P/s: Câu hỏi của thang Tran - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

thanks ban nha

Ta có

\(\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{CD}{AC}\) (Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy)

\(\Rightarrow\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{15}{20}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow AB=\dfrac{3AC}{4}\)

\(BC=BD+CD=15+20=35cm\)

Ta có

\(BC^2=AB^2+AC^2\) (Pitago)

\(\Rightarrow35^2=\left(\dfrac{3AC}{4}\right)^2+AC^2\Rightarrow AC^2=784\Rightarrow AC=28cm\)

Ta có

\(AC^2=CH.BC\) (Trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

\(\Rightarrow CH=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{784}{35}=22,4cm\)

\(\Rightarrow BH=BC-CH=35-22,4=12,6cm\)

Ta có

\(AH^2=BH.CH\) (trong tg vuông bình phương đường cao hạ từ đỉnh góc vuông bằng tích giữa các hình chiếu của 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền)

\(\Rightarrow AH^2=12,6^2+22,4^2=660,52\Rightarrow AH=\sqrt{660,52}\)

Ta có

\(HD=BD-BH=15-12,6=2,4cm\)

Xét tg vuông AHD có

\(AD^2=AH^2+HD^2\) (Pitago)

Bạn tự tính nốt nhé

a)

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HBA\) có:

           \(\widehat{B}:chung\)

      \(\widehat{BAC}=\widehat{BHA}\left(=90^o\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\sim\Delta HBA\left(g.g\right)\)           \(\left(ĐPCM\right)\)

b)

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông ABC. Ta có:

\(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow15^2+20^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow BC=25\)

Ta có: \(\text{ΔABC ∼ ΔHBA }\)   (cm câu a)

\(\Rightarrow\dfrac{AC}{AH}=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{AB}{BH}\)

⇔ \(\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{BH}{AB}\)

⇔ \(\dfrac{AH}{20}=\dfrac{15}{25}=\dfrac{BH}{15}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH=12\\BH=9\end{matrix}\right.\)

⇒ \(CH=BC-BH=25-9=16\)

Trong tam giác vuông ABH:

\(tanB=\dfrac{AH}{BH}\Rightarrow AH=BH.tanB=10.tan45^0=10\)

\(cosB=\dfrac{BH}{AB}\Rightarrow AB=\dfrac{BH}{cosB}=\dfrac{10}{cos45^0}=10\sqrt{2}\)

Do tam giác ABH vuông tại H \(\Rightarrow\widehat{BAH}=90^0-\widehat{B}=45^0\)

\(\Rightarrow\widehat{CAH}=\widehat{A}-\widehat{BAH}=75^0-45^0=30^0\)

Trong tam giác vuông ACH:

\(cos\widehat{CAH}=\dfrac{AH}{AC}\Rightarrow AC=\dfrac{AH}{cos\widehat{CAH}}=\dfrac{10}{cos30^0}=\dfrac{20\sqrt{3}}{3}\)

AD là phân giác góc A \(\Rightarrow\widehat{CAD}=\dfrac{1}{2}\widehat{A}=\dfrac{75^0}{2}=37^030'\)

\(\Rightarrow\widehat{DAH}=\widehat{CAD}-\widehat{CAH}=37^030'-30^0=7^030'\)

Trong tam giác vuông ADH:

\(cos\widehat{DAH}=\dfrac{AH}{AD}\Rightarrow AD=\dfrac{AH}{cos\widehat{DAH}}=\dfrac{10}{cos\left(7^030'\right)}\approx10,1\)

\(a,\\ \text{ĐL đường p/g: }\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{36}{60}=\dfrac{3}{5}\\ \text{Hệ thức lượng: }\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{\dfrac{AB^2}{BC}}{\dfrac{AC^2}{BC}}=\dfrac{AB^2}{AC^2}=\left(\dfrac{3}{5}\right)^2=\dfrac{9}{25}\\ b,BC=BD+CD=HB+HC=96\left(cm\right)\\ \to\dfrac{9}{25}HC+HC=96\\ \to HC=\dfrac{1200}{17}\to HB=\dfrac{432}{17}\\ \to AH=\sqrt{HC\cdot HB}=\dfrac{720}{17}\left(cm\right)\)

a: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔABC vuông tại A có

góc B chung

Do đó: ΔHBA\(\sim\)ΔABC

b: \(BC=\sqrt{6^2+8^2}=10\left(cm\right)\)

\(AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=4.8\left(cm\right)\)