a. tìm a là số tự nhiên để 17a+8 là số chính phương

Giả sử \(17a+8=x^2\Rightarrow17a-17+25=x^2\Rightarrow17\left(a-1\right)=x^2-25\Rightarrow17\left(a-1\right)=\left(x-5\right)\left(x+5\right)\)

\(\Rightarrow\left(x-5\right);\left(x+5\right)⋮17\)

\(\Rightarrow x=17n\pm5\Rightarrow a=17n^2\pm10n+1\)

\(n^2+n+6\)là số chính phương nên \(n^2+n+6=a^2\)

\(\Leftrightarrow4n^2+4n+24=4a^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2n\right)^2+2.2n+1+23=\left(2a\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2n+1\right)^2+23=\left(2a\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2a\right)^2-\left(2n+1\right)^2=23\)

\(\Leftrightarrow\left(2a+2n+1\right)\left(2a-2n-1\right)=23\)

Mà \(a,n\inℕ\)và \(\left(2a+2n+1\right)>\left(2a-2n-1\right)\)nên

\(\hept{\begin{cases}2a+2n+1=23\\2a-2n-1=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2a+2n=22\\2a-2n=2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+n=11\\a-n=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=6\\n=5\end{cases}}\)

Vậy n = 5

A là số chính phương nên: \(A=n^2+n+6=k^2\)

\(\Rightarrow4n^2+4n+24=4k^2\)

\(\Rightarrow4n^2+4n+1+23=4k^2\)

\(\Rightarrow\left(2n+1\right)^2+23=4k^2\)

\(\Rightarrow4k^2-\left(2n+1\right)^2=23\)

\(\Rightarrow\left(2k-2n-1\right)\left(2k+2n+1\right)=23\)

Do \(k,n\in N\) nên: \(2k+2n+1>2k-2n-1\)

Ta có hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}2k+2n+1=23\\2k+2n+1=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2k+2n+1=23\\4k=24\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}12+2n+1=23\\k=6\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+13=23\\k=6\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n=10\\k=6\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n=5\\k=6\end{matrix}\right.\)

Vậy: n=5

 Đặt A = m² + n² + 2.m.n +m + 3n + 2 ta có :

A > m² +n² + 2.m.n =( m+n )² ; 

và A<m² +n² + 4 +2.m.n + 4.m+ 4n = ( m+n+ 2 )² 

Vậy A nằm giữa hai số chính phương liên tiếp nên : 

A chính phương <=> A = ( m + n + 1 )² 

                            <=> A = m² + n² + 2.m.n + 2.m + 2.n + 1 <=> m = n + 1 

Vậy n \(\in\)N tùy ý và m = n+ 1 

\(A=n^2+n+6\)là số chính phương thì \(4A=4n^2+4n+24\)cũng là số chính phương. Giả sử 4A = p² (p thuộc N)

\(\Rightarrow4n^2+4n+1+23=p^2\Rightarrow\left(2n+1\right)^2+23=p^2\Rightarrow p^2-\left(2n+1\right)^2=23\)

\(\Rightarrow\left(p+2n+1\right)\left(p-2n-1\right)=23\times1\)(2)

Với n ; p là số tự nhiên thì p+2n+1 là số lớn; p-2n-1 là số bé. Do đó:

(2) => \(\hept{\begin{cases}p+2n+1=23\\p-\left(2n+1\right)=1\end{cases}\Rightarrow2n+1=11\Rightarrow}n=5\)

Vậy với n = 5 thì A = n² + n + 6 là số chính phương.

\(a=n^2\left(n^4-n^2+2n+2\right)\)

A=\(n^2\left(n+1\right)\left(n^3-n^2+2\right)\)

A=\(n^2\left(n+1\right)\left(n^3+1-n^2+1\right)\)

A=\(n^2\left(n+1\right)^2\left(n^2-2n+2\right)\)

A=\(n^2\left(n+1\right)^2\left(n-1\right)+n^2\left(n+1\right)^2\)

nhận thấy n^2 -2n+2=\(\left(n-1\right)^2+1>\left(n-1\right)^2\)^{(1) (vì n>1)}

^{vì n>1 => 2n>2}

^=>2n-2>0

^{=>\(n^2-\left(2n-2\right)< n^2\)}

^{hay \(n^2-2n+2< n^2\)}(2)

từ (1) và (2) =>\(\left(n-1\right)^2< n^2-2n+2< n^2\)

=>\(n^2-2n+2\)không là số chính phương

=> A= \(n^2\left(n+1\right)^2\left(n^2-2n+2\right)\) không là số chính phương

mình làm tắt chỗ nào không hiểu hỏi mình trả lời cho

Đặt \(a^2=n^2-n+2\left(a\in Z\right)\)

\(\Rightarrow4a^2=4n^2-4n+8\)

\(\Leftrightarrow4a^2=\left(2n-1\right)^2+9\)

\(\Leftrightarrow4a^2-\left(2n-1\right)^2=9\)

\(\Leftrightarrow\left(2a-2n+1\right)\left(2a+2n-1\right)=9\)

Phương trình ước số cơ bản.