Đa thức \(ax^3+bx^2+4\)chia cho đa thức \(x^2-1\)dư 2x + 5

Nên \(ax^3+bx^2+4-2x-5⋮x^2-1\)

hay \(ax^3+bx^2-2x-1⋮x^2-1\)

Áp dụng định lý Bezout:

1 và -1 là hai nghiệm của đa thức \(x^2-1\)nên \(\hept{\begin{cases}a+b-2-1=0\\-a+b+2-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=3\\a-b=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=2\\b=1\end{cases}}\)

Vậy a = 2 ; b = 1

Vì \(f\left(x\right)⋮x-2;f\left(x\right):x^2-1\) dư 1\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(x\right)=g\left(x\right)\cdot\left(x-2\right)\\f\left(x\right)=q\left(x\right)\left(x^2-1\right)+x=q\left(x\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)+x\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(2\right)=0\\f\left(1\right)=1\\f\left(-1\right)=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}32+4a+2b+c=0\\2+a+b+c=1\\2+a-b+c=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a+2b+c=-32\left(1\right)\\a+b+c=-1\left(2\right)\\a-b+c=-3\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

 Trừ từng vế của (2) cho (3) ta được:

\(\Rightarrow2b=2\Rightarrow b=1\)

Thay b=1 vào lần lượt (1) ,(2),(3) ta được:

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a+2+c=-32\\a+1+c=-1\\a-1+c=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a+c=-34\\a+c=-2\\a+c=-2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a+c=-34\left(4\right)\\a+c=-2\left(5\right)\end{matrix}\right.\)

Trừ từng vế của (4) cho (5) ta được:

\(\Rightarrow3a=-32\Rightarrow a=-\dfrac{32}{3}\Rightarrow c=-2+\dfrac{32}{3}=\dfrac{26}{3}\) Vậy...

\(f\left(x\right)=ax^3+bx+c\)

\(\hept{\begin{cases}f\left(-2\right)=0\\f\left(1\right)=1+5=6\\f\left(-1\right)=-1+5=4\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-8a-2b+c=0\\a+b+c=6\\-a-b+c=4\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=\frac{1}{2}\\c=5\end{cases}}\)

\(ax^3+bx-24=\left(x+1\right)Q\left(x\right)\)(1)

\(ax^3+bx-24=\left(x+3\right)P\left(x\right)\) (2) (P(x),Q(x) là các thương)

Thay x = -1 vào (1) và x = -3 vào (2), ta có: 

\(\hept{\begin{cases}a.\left(-1\right)^3+b.\left(-1\right)-24=0\\a.\left(-3\right)^3+b.\left(-3\right)-24=0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}-a-b=24\\-27a-3b=24\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}-3a-3b=72\\-27a-3b=24\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}-3a-3b-\left(-27a-3b\right)=72-24\\-a-b=24\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}24a=48\\a+b=-24\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}a=2\\b=-26\end{cases}}\)