a, Xét ΔABH và ΔAHD có

       Góc A chung

        Góc ADH=Góc AHB=90° 

=> ΔABH ~ΔAHD(g.g)

=> AH/AB=AD/AH

=> AB.AD=AH²(1)

Xét ΔAEH và ΔAHC có:

Góc A chung 

Góc AEH = góc AHC

=>ΔAEH~ΔAHC(g.g)

=> AE/AH=AH/AC

=>AE.AC=AH²(2)

Từ (1);(2) => AD.AB=AE.AC(đpcm)

b, vì ΔABC vuông tại A có AI là trung tuyến ứng với cạnh huyền=> BI=IC=AI

=> ΔAIC cân tại I

=>góc IAC =góc ICA

Ta cũng có ΔBIA cân tại I =>góc IBA=góc BAI

Mà góc BAI =góc AED(cùng phụ)

         => góc IBA=góc AED

Mà ABI+góc ACI= 90°

=>    gócAED + góc IAC=90° 

      => DEvuông góc vs AI

c, 

mình làm câu c,d nek bạn

c, ta có\(\Delta\)HEC vuông tại E( vì E là hình chiếu của H nên Góc E=90 độ)

        => EN là đường trung tuyến ứng vs cạnh huyền

        => EN=NH=NC( vì N là trung điểm của HC)

         => \(\Delta\)ENC cân tại N(NE=NC cmt)

        => góc NEC=góc NCE(hai góc đáy) (1)

     chứng minh tương tự trong \(\Delta\)BMD cân tại M

       => góc DBM=góc MDB(2)

ta có \(\Delta\)ABC vuông tại A nên góc DBM+góc NCE=90 độ

                                            =>góc MDB+ góc NEC(vì (1);(2))    (3)

      và \(\Delta\)\(\Delta\)
DAE vuông tại A nên góc ADE+góc AED=90 độ (4)

từ (3);(4)=>góc BDM+góc ADE=90 độ

              => góc MDH+góc HDE=90 độ ( 180 độ - (MDH+HDE))

              => DM\(\perp\) DE (*)

     và    góc DEA+ góc NEC=90 độ

            => góc HDE+góc HEN= 90 độ 

           => DE\(\perp\) EN (**)

từ (*); (**)=> MDEN là hình thang (DM // EN vì cùng \(\perp\)vs DE)

d, Ta có DHEA là hình chữ nhật (góc D= góc H =Góc E=90 độ)

=> OH=OA=OD=OE (t/c đường chéo hcn)

=> OH=OA=HA/2

ta có HM+HN=BM+NC(vì BM=MH; NH=NC)

    =>  MH+HN=BC/2=>MN=1/2 BC

 diện tích \(\Delta\)ABC =1/2. AH. BC

 diện tích \(\Delta\)MON=1/2.OH.MN=1/2.1/2AH.1/2BC

Vậy (S\(\Delta\) MON)/(S\(\Delta\)ABC)=(1/2.AH.BC)/(1/8 AH.BC)

                                         =4

Mình nghĩ là làm như vậy, có gì bạn góp ý nha

b: Xét ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao ứng với cạnh huyền AB

nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AC

nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

hay \(\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AE}{AB}\)

Xét ΔADE vuông tại A và ΔACB vuông tại A có 

\(\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AE}{AB}\)

Do đó: ΔADE\(\sim\)ΔACB

Suy ra: \(\widehat{ADE}=\widehat{ACB}\)

b: Xét ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)