cho tam giác ABC cân tại a đường cao ak be cf cắt nhau tại h . gọi i là giao điểm của ah và ef chứng minh e và f đối xứng nhau qua ah.kể tên các tam giác đối xứng nhau qua đường thẳng ah có trong hình vẽ
Cho tam giác cân ABC(AB=AC), đường cao AH ,gọi E và F lần lượt là điểm trên AB và AK sao cho BE=CF .a,chứng minh E và F đối xứng nhau qua AH. b,Gọi O và giao điểm của EF và AH các tia BO, CO cắt AK ,AB lần lượt ở K và G chứng minh EK=GF
Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH gọi E và F lần lượt là điểm nằm trên cạnh AB và AC sao cho BE= CF a, chứng minh E đối xứng với F qua AH b, Gọi O là giao điểm EF và AH . Các tia BO, CO cắt AC ,AB tại I và K . Chứng minh EK = EI
a: Xét ΔEBH và ΔFCH có
EB=FC
\(\widehat{B}=\widehat{C}\)
BH=CH
Do đó: ΔEBH=ΔFCH
Suy ra: HE=HF
hay H nằm trên đường trung trực của EF(1)
Ta có: AE=AF
nên A nằm trên đường trung trực của EF(2)
Từ (1) và (2) suy ra E và F đối xứng nhau qua AH
Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao BE, CF, AK gặp nhau tại H. Gọi I là giao điểm của AH và EF.
a) Chứng minh E, F, đối xứng với nhau qua AH.
b) Kể tên các tam giác đối xứng với nhau qua đướng thẳng AH có trong hình vẽ.
Cho tam giác ABC cân tại A,đường cao AH.Gọi E,F lần lượt là điểm nằm trên AB và AC sao cho BE=CF a)Chứng minh E và F đối xứng nhau qua AH b)Gọi O la giao điểm của EF và AH.Các tia BO,CO cắt AC,AB lần lượt tại K và H.Chứng minh EK=HF
Vì tg ABC cân tại A(gt), đường cao AH
=> AH đồng thời là đi trung trực của tgABC
=> BH=HC
Xét ΔEBH và ΔFCH có
EB=FC(gt)
ˆB=ˆC( vì tg ABC cân tại A)
BH=CH(cmt)
Do đó: ΔEBH=ΔFCH
Suy ra: HE=HF
hay H nằm trên đường trung trực của EF(1)
Ta có: AE=AF
Điểm A nằm trên đường trung trực của EF(2)
Từ (1) và (2): => E và F đối xứng nhau qua AH
Bài 5. Cho tam giác ABC cân tại A có AH đường cao (H BC ) . Lấy điểm E thuộc cạnh AB, F
lượt thuộc cạnh AC sao cho BE = CF.
a) Chứng minh hai điểm E, F đối xứng với nhau qua AH;
b) Gọi O là giao điểm của EF với AH. Các tia BO, CO cắt AC, AB lần lượt ở I và K.
Chứng minh EK = IF.
\(a,\left\{{}\begin{matrix}BE=CF\left(GT\right)\\AB=AC\left(GT\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\dfrac{BE}{AB}=\dfrac{CF}{AC}\Rightarrow EF//BC\left(Ta-lét.đảo\right)\\ \Rightarrow AH\perp EF.tại.O\left(1\right)\)
Tam giác ABC cân tại A có AH là đường cao cũng là trung tuyến
Áp dụng hệ quả Ta-lét: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{EO}{BH}=\dfrac{AO}{AH}\\\dfrac{AO}{AH}=\dfrac{OF}{HC}\end{matrix}\right.\Rightarrow\dfrac{EO}{BH}=\dfrac{OF}{HC}\)
Mà \(BH=HC\left(AH.trung.tuyến\right)\Rightarrow EO=OF\left(2\right)\)
\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\) E đối xứng F qua AH
\(b,\Delta BOC\) có \(OH\) vừa là đường cao vừa là trung tuyên nên là tam giác cân
\(\Rightarrow OB=OC;\widehat{OBC}=\widehat{OCB}\\ \Rightarrow\widehat{ABC}-\widehat{OBC}=\widehat{ACB}-\widehat{OCB}\left(\Delta ABC.cân.tại.A\right)\\ \Rightarrow\widehat{KBO}=\widehat{ICO}\)
\(\left\{{}\begin{matrix}OB=OC\left(cm.trên\right)\\\widehat{KBO}=\widehat{ICO}\left(cm.trên\right)\\\widehat{KOB}=\widehat{IOC}\left(đối.đỉnh\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta BOK=\Delta COI\left(g.c.g\right)\\ \Rightarrow BK=CI\\ \Rightarrow BK-BE=CI-CF\left(BK=CF.do.giả.thiết\right)\\ \Rightarrow EK=FI\)
Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH, CF. Gọi D và E lần lượt đối xứng với H qua AB và AC. K đối xứng với H qua phân giác của góc A 1) Chứng minh tam giác ADE cân. 2) Chứng minh AK vuông góc với EF 3) Chứng minh ba điểm D,F,E thẳng hàng
Cho tam giác AbC cân tại A, hai đường trung tuyến BE, CF cắt nhau tại O. Gọi K và I lần lượt là điểm đối xứng của O qua E và F. A) BI cắt AK tại M,IK cắt AO tại G. Chứng minh M,G,C thẳng hàng
Cho tam giác ABC có hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi E' là điểm đối xứng H qua AC, F' là điểm đối xứng H qua AB. Chứng minh:
a, Tứ giác BCE'F' nội tiếp đường tròn (O)
b, Năm điểm A, F', B, C, E' cùng thuộc một đường tròn
c, AO và EF vuông góc nhau
d, Khi A chạy trên (O) thì bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF không đổi
a, ∆CHE' cân tại C => C E ' H ^ = C H E ' ^
DBHF' cân tại B => B F ' H ^ = B H F ' ^
Mà => C H E ' ^ = B H F ' ^ (đối đỉnh)
=> C E ' H ^ = B F ' H ^
=> Tứ giác BCE'F' nội tiếp đường tròn tâm (O)
b, Có B F C ' ^ = B E ' C ^ = C H E ' ^ = C A B ^
Vậy A, F', E' cùng chắn BC dưới góc bằng nhau
=> 5 điểm B, F', A, E', C cùng thuộc một đường tròn tâm (O)
c, AF' = AE' (=AH) => AO là trung trực của EF => AO ^ E'F'. DHE'F' có EF là đường trung bình => EF//E'F'
=> AO ^ FE
d, A F H ^ = A E H ^ = 90 0 => AFHE nội tiếp đường tròn đường kính AH. Trong (O): Kẻ đường kính AD, lấy I trung điểm BC
=> OI = 1 2 AH, BC cố định => OI không đổi
=> Độ dài AH không đổi
=> Bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆AEF không đổi