\(BC=BD+CD=15+20=35\left(cm\right)\)

Xét tam giác \(ABC\)phân giác \(AD\):

\(\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CD}\)(tính chất đường phân giác trong tam giác) 

\(\Leftrightarrow\frac{AB}{15}=\frac{AC}{20}\Leftrightarrow AB=\frac{3}{4}AC\).

Xét tam giác \(ABC\)vuông tại \(A\):

\(BC^2=AB^2+AC^2\)(định lí Pythagore) 

\(\Leftrightarrow35^2=\left(\frac{3}{4}AC\right)^2+AC^2\Leftrightarrow AC^2=784\Leftrightarrow AC=28\left(cm\right)\)

\(AC^2=CH.BC\Leftrightarrow CH=\frac{AC^2}{BC}=\frac{28^2}{35}=22,4\left(cm\right)\)

\(BH=35-22,4=12,6\left(cm\right)\)

△ABC có AD là đường phân giác

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{15}{20}=\dfrac{3}{4}\\ \Rightarrow\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{9}{16}\\ \Rightarrow\dfrac{AB^2}{9}=\dfrac{AC^2}{16}=\dfrac{BC^2}{25}=\dfrac{\left(15+20\right)^2}{25}=49\\ \Rightarrow AB=\sqrt{49.9}=21\left(cm\right)\\ AC=\sqrt{49.16}=28\left(cm\right)\)

△ABC vuông tại A có \(AH\perp BC\)

\(\Rightarrow AH.BC=AB.AC\\ \Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{21.28}{35}=16,8\left(cm\right)\)

△ABC vuông tại A có \(AH\perp BC\)

\(\Rightarrow AB^2=AH.HB\\ \Rightarrow HB=\dfrac{AB^2}{AH}=\dfrac{21^2}{16,8}=26,25\left(cm\right)\\ HC=BC-HB=15+20-26,25=8,75\left(cm\right)\)

Xét ΔABC có 

AD là đường phân giác ứng với cạnh BC

nên \(\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB}{AC}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{BH}{CH}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2=\dfrac{9}{16}\)

\(\Leftrightarrow BH=\dfrac{9}{16}CH\)

Ta có: BH+CH=35

\(\Leftrightarrow CH\cdot\dfrac{25}{16}=35\)

\(\Leftrightarrow CH=22.4\left(cm\right)\)

\(\Leftrightarrow BH=\dfrac{9}{16}\cdot22.4=12.6\left(cm\right)\)

BC=15+20=35cm

BD/CD=3/4

=>AB/AC=3/4

BH/CH=(AB/AC)^2=9/16

=>BH/9=CH/16=35/25=1,4

=>BH=12,6cm; CH=22,4cm

a, Áp dụng định lí Pytago cho tam giác ABC vuông tại A

\(AB^2+AC^2=BC^2\Rightarrow BC^2=\left(\frac{3}{5}BC\right)^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow AC^2=\frac{16}{25}BC^2\Leftrightarrow AC=\frac{4}{5}BC\)

* Áp dụng hệ thức : 

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\Rightarrow\frac{1}{144}=\frac{1}{\frac{9}{25}BC^2}+\frac{1}{\frac{16}{25}BC^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{144}=\frac{\frac{16}{25}BC^2+\frac{9}{25}BC^2}{\frac{16}{25}BC^2.\frac{9}{25}BC^2}\Rightarrow144BC^2=\frac{144}{625}BC^4\)

\(\Leftrightarrow\frac{144}{625}BC^2-144=0\Leftrightarrow BC^2=144.\frac{625}{144}=625\Leftrightarrow BC=25\)cm 

\(\Rightarrow AB=\frac{3}{5}BC=\frac{3}{5}.25=\frac{75}{5}=15\)cm

\(\Rightarrow AC=\frac{4}{5}BC=\frac{4}{5}.25=\frac{100}{5}=20\)

Chu vi tam giác là : \(P_{ABC}=AB+BC+AB=15+20+25=60\)cm²

b, Vì AD là phân giác nên : \(\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}\Rightarrow AB=\frac{3}{4}AC\)

Lại có : \(BC=BD+DC=15+20=35\)cm 

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác ABC vuông tại A

\(BC^2=AC^2+AB^2=AC^2+\left(\frac{3}{4}AC\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{25}{16}AC^2=1225\Leftrightarrow AC^2=\frac{16.1225}{25}=784\Leftrightarrow AC=28\)cm 

\(\Rightarrow AB=\frac{3}{4}.28=21\)cm 

* Áp dụng hệ thức : \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\Rightarrow\frac{1}{AH^2}=\frac{AC^2+AB^2}{AB^2AC^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{AH^2}=\frac{784+441}{345744}\Leftrightarrow1225AH^2=345744\Leftrightarrow AH^2=\frac{7056}{25}\Leftrightarrow AH=\frac{84}{5}\)cm 

* Áp dụng hệ thức : \(AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{441}{35}=\frac{63}{5}\)cm 

\(\Rightarrow HD=BD-BH=15-\frac{63}{5}=\frac{12}{5}\)cm

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác AHD vuông tại H 

\(AD^2=AH^2+HD^2=\left(\frac{84}{5}\right)^2+\left(\frac{12}{5}\right)^2=288\Rightarrow AD=12\sqrt{2}\)cm 

Lời giải:

Theo tính chất tia phân giác:

$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

$AB^2=BH.BC$

$AC^2=CH.BC$

$\Rightarrow \frac{BH}{CH}=(\frac{AB}{AC})^2=\frac{9}{16}$

Mà $BH+CH=BC=BD+CD=15+20=35$ (cm)

Do đó:

$BH=35:(9+16).9=12,6$ (cm)

$CH=35:(9+16).16=22,4$ (cm)

Hình vẽ: