Áp dụng \(\sqrt{n+a}+\sqrt{n-a}< 2\sqrt{n}\) với (với 0< |a|≤ n) để so sánh \(\sqrt{101}-\sqrt{99}\) với 0,1
Chứng minh bất đẳng thức \(\sqrt{n+a}+\sqrt{n-a}< 2\sqrt{n}\)với 0<|a|<=n
Áp dụng(không dùng máy tính hoặc bảng số)CMR
\(\sqrt{101}-\sqrt{99}< 0,1\)
Ta có:
\(\left(\sqrt{n+a}+\sqrt{n-a}\right)^2< \left(1+1\right)\left(n+a+n-a\right)=4n\)
\(\Rightarrow\sqrt{n+a}+\sqrt{n-a}< \sqrt{4n}=2\sqrt{n}\)
cm thì xong r` mà BĐT trên thì + biểu thức dưới là - là sao ??
Chứng minh bất đẳng thức
\(\sqrt{n+a}+\sqrt{n-a}< 2\sqrt{n}\)với \(0< |a|\le n\)
áp dụng(không dùng máy tính hoặc bảng số) chứng minh rằng
\(\sqrt{101}-\sqrt{99}>0,1\)
Mình học lớp 6 nên chẳng may có gì sai bạn(chị anh) sửa giúp em nhé:
Ta có:
\(\left(\sqrt{n+a}+\sqrt{n-a}\right)^2< \left(2\sqrt{n}\right)^2\) (bình phương cả 2 vế)
=> \(2n+2\sqrt{n^2-a^2}< 4n\)
=>\(2\sqrt{n^2-a^2}< 2n\)
=>\(\sqrt{n^2-a^2}< n\)
=>n2 - a2 < n2 (bình phương cả 2 vế)
Vì |a|>0
=>a2 > 0
=> n2-a2 < n2
Vậy \(\sqrt{n+a}+\sqrt{n-a}< 2\sqrt{n}\)
câu b làm tương tự nhé:
Áp dụng \(2\sqrt{n}>\sqrt{n-a}+\sqrt{n+a}\) (với 0< |a|\(\le\) n) để so sánh \(\sqrt{101}-\sqrt{99}\) với \(0,1\)
\(2\left(\sqrt{N+1}-\sqrt{N}\right)<\frac{1}{\sqrt{N}}<2\left(\sqrt{N}-\sqrt{N-1}\right)\)
Với N>0
Áp dụng: cho s=\(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}\)
Cmr 18<s<19
a) Chứng minh: \(2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)< \frac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\) (với n \(\in\) N*)
b) Áp dụng cho S=\(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}\)
Chứng minh 18<S<19
Giúp em với mấy anh chị ơiiiiiiiiiiii
Bạn tham khảo lời giải tại link sau:
Câu hỏi của Hoa Trần Thị - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
CMR\(\frac{1}{2\sqrt{n+1}}< \sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)với n thuộc N
Áp dụng CMR \(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2500}}< 100\)
Ta có :
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{2\sqrt{n+1}}< \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\\\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\end{cases}}\forall n\in N\)
Suy ra : \(\frac{1}{2\sqrt{n+1}}< \sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)
Đặt \(M=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2499}}+\frac{1}{\sqrt{2500}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}M=\frac{1}{2\sqrt{2500}}+\frac{1}{2\sqrt{2499}}+...+\frac{1}{2\sqrt{3}}+\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\)
Áp dụng BĐT , ta có :
\(\frac{1}{2}M< \sqrt{2500}-\sqrt{2499}+\sqrt{2499}-\sqrt{2498}+...+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{2}-\sqrt{1}+\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}M< \sqrt{2500}-\sqrt{1}+\frac{1}{2}=50-\frac{1}{2}< 50\)
\(\Rightarrow M< 100\)
CMR \(2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)< \frac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)với n thuộc N*
Áp dụng cho S=\(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}\)
CMR 18<S<19
CMR \(\frac{1}{2\sqrt{n+1}}
chứng minh rằng \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)với \(n\inℕ^∗\)\
Áp dụng tính tổng
\(S=\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{400\sqrt{399}+399\sqrt{400}}\)
Ta có: \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{\left(n+1\right)^2n-n^2\left(n+1\right)}\) (pp trục căn thức ở mẫu)
\(=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{n\left(n^2+2n+1-n^2-n\right)}=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
Áp dụng tính: \(S=\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+....+\frac{1}{400\sqrt{399}+399\sqrt{400}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+....+\frac{1}{\sqrt{399}}-\frac{1}{\sqrt{400}}\)
\(=1-\frac{1}{\sqrt{400}}=1-\frac{1}{20}=\frac{19}{20}\)
Vậy S = 19/20