\(y\left(3x+1\right)=4-x\)

\(3y\left(3x+1\right)=12-3x\)

\(3y\left(3x+1\right)=-\left(3x+1\right)+13\)

\(\left(3x+1\right)\left(3y+1\right)=13\)

Đến đây tự giải nhá.

Tham khảo tại đây nhé: Tìm x, y nguyên thoả 3xy-5=x^2+2y - Tay Thu (hoc247.net)

Vì 12p ⋮ 3 nên x²-3xy+p²y² ⋮ 3 mà -3xy ⋮ 3 nên x²+p²y² ⋮ 3 kết hợp với tính chất 1 số chính phương chỉ chia 3 dư 0 hoặc 1 nên nếu tổng 2 chính phương ⋮ 3 thì cả 2 số⋮ 3. Từ đó x² và p²y² mà đây là 2 bình phương và 3 là số nguyên tố nên x² và p²y² ⋮ 9. Vì x²⋮ 9 nên x ⋮ 3 từ đó 3xy ⋮cho 9. Qua đó x²-3xy+p²y² ⋮ 9. Ta có 12p= 4.3p mà (4,9)=1 nên 3p ⋮ 9 từ đó p ⋮ 3 mà p là số nguyên tố nên p = 3. 
=> x²-3xy+p²y² =12p <=> x²-3xy+9y² =36 áp dụng bất đẳng thức Cô si x²+y² ≥ 2xy với mọi x,y => x²+9y²≥2.x.3y=6xy => 36≥6xy-3xy=3xy =>12≥xy mà x,y là số nguyên dương nên x.y ≥1 nên 12≥xy≥x.1=x
Ta có x²+(-3xy)+9y² chẵn mà đây là tổng 3 số nguyên nên tồn tại 1 số chẵn
nếu x chẵn =>  x²+(-3xy) chẵn => 9y² chẵn mà (9,2)=1 nên y chẵn ta cmtt với y. Từ đó suy ra cả x và y đều chẵn, kết hợp với 12≥x,x⋮3 và x nguyên dương => x∈{6,12} thay x vào x²-3xy+9y² =36 ta tìm được các cặp (x,y) là (6,0);(6,2);(12,6) 
Vậy các cặp (x,y,p) cần tìm là (6,0,3);(6,2,3);(12,6,3)

\(x^2-3xy+2=y\)

\(\Rightarrow x^2+2=y\left(3x+1\right)\left(1\right)\)

\(\Rightarrow\left(x^2+2\right)⋮\left(3x+1\right)\)

\(\Rightarrow\left(9x^2+18\right)⋮\left(3x+1\right)\)

\(\Rightarrow\left[\left(9x^2-1\right)+19\right]⋮\left(3x+1\right)\)

Ta có \(9x^2-1=\left(3x+1\right)\left(3x-1\right)⋮\left(3x+1\right)\)

\(\Rightarrow19⋮\left(3x+1\right)\) nên \(3x+1\inƯ\left(19\right)\)

Lập bảng:

Với \(x=6\). (1) \(\Rightarrow y=\dfrac{x^2+2}{3x+1}=\dfrac{6^2+2}{3.6+1}=2\)

Với \(x=0\). (1) \(\Rightarrow y=\dfrac{x^2+2}{3x+1}=\dfrac{0^2+2}{3.0+1}=2\)

Vậy các cặp số (x;y) thỏa điều kiện ở đề bài là \(\left(6;2\right),\left(0;2\right)\)