a: Xét (O) có

CA,CB là các tiếp tuyến

Do đó: CA=CB

=>C nằm trên đường trung trực của AB(1)

ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1) và (2) suy ra OC là đường trung trực của AB

=>OC\(\perp\)AB tại trung điểm E của AB

b: Xét (O) có

ΔABD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔABD vuông tại B

=>AB\(\perp\)BD

Ta có: AB\(\perp\)BD

OC\(\perp\)AB

Do đó: BD//OC

c: Gọi giao điểm của DB với AC là K

Ta có: BH\(\perp\)AD

CA\(\perp\)AD

Do đó: BH//CA

Ta có: AB\(\perp\)BD tại B

=>AB\(\perp\)KD tại B

=>ΔABK vuông tại B

Ta có: \(\widehat{BAK}+\widehat{BKA}=90^0\)

\(\widehat{CBA}+\widehat{CBK}=\widehat{ABK}=90^0\)

mà \(\widehat{CBA}=\widehat{CAB}\)

nên \(\widehat{CBK}=\widehat{CKB}\)

=>CK=CB

mà CA=CB

nên CA=CK(3)

Xét ΔDCA có HI//AC

nên \(\dfrac{HI}{AC}=\dfrac{DI}{DC}\left(4\right)\)

Xét ΔDCK có IB//CK

nên \(\dfrac{IB}{CK}=\dfrac{DI}{DC}\left(5\right)\)

Từ (3),(4),(5) suy ra IH=IB

=>BH=2IH

d: Xét tứ giác AOBC có

\(\widehat{OAC}+\widehat{OBC}+\widehat{AOB}+\widehat{ACB}=360^0\)

=>\(\widehat{ACB}+120^0+90^0+90^0=360^0\)

=>\(\widehat{ACB}=60^0\)

Xét ΔBAC có CA=CB và \(\widehat{ACB}=60^0\)

nên ΔBAC đều

Xét (O) có

CA,CB là các tiếp tuyến

Do đó: CO là phân giác của góc ACB

=>\(\widehat{ACO}=\widehat{BCO}=\dfrac{\widehat{ACB}}{2}=\dfrac{60^0}{2}=30^0\)

Xét ΔOAC vuông tại A có \(tanACO=\dfrac{AO}{AC}\)

=>\(\dfrac{R}{AC}=tan30=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

=>\(AC=R\sqrt{3}\)

Vì ΔACB đều

nên \(S_{ACB}=AC^2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{R^2\cdot3\cdot\sqrt{3}}{4}\)

a/

Hai tg ABD và tg ABC có chung AB và đường cao từ D->AB = đường cao từ C->AB nên \(S_{ABD}=S_{ABC}\) 

Hai tg này có phần diện tích chung là \(S_{ABO}\Rightarrow S_{AOD}=S_{BOC}\)

b/

Hai tg ABC và tg ACD có đg cao từ D->AB = đường cao từ B->CD nên

\(\dfrac{S_{ABC}}{S_{ACD}}=\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{1}{2}\)

Hai tg trên có chung AC nên

\(\dfrac{S_{ABC}}{S_{ACD}}=\) đg cao từ B->AC / đg cao từ D->AC\(=\dfrac{1}{2}\)

Hai tg ABO và tg AOD có chung AO nên

\(\dfrac{S_{ABO}}{S_{AOD}}=\) đg cao từ B->AC / đg cao từ D->AC\(=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow S_{AOD}=2xS_{ABO}=2x3,5=7cm^2\)

\(\Rightarrow S_{ABD}=S_{ABO}+S_{AOD}=3,5+7=10,5cm^2\)

Hai tg ABD và tg BCD có đg cao từ D->AB = đường cao từ B->CD nên

\(\dfrac{S_{ABD}}{S_{BCD}}=\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow S_{BCD}=2xS_{ABD}=2x10,5=21cm^2\) 

\(\Rightarrow S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{BCD}=10,5+21=31,5cm^2\)