Cho x + y + z = 3
a, Tìm GTNN của A = x2 + y2 + z2
b, Tìm GTNN của B = xy + yz + zx
c, Tìm GTNN của C = A + B
Cho x + y + z = 3
a, Tìm GTNN của A = x2 + y2 + z2
b, Tìm GTNN của B = xy + yz + zx
c, Tìm GTNN của C = A + B
a, ap dung bunhiacopxki
(1+1+1)A\(\ge\)(x+y+z)2=9
A\(\ge\)3
Dau bang xay ra khi x=y=z=1
b, co Bmax ko co Bmin
VD13: Tìm GTLN và GTNN của:
b) N=3+4x/x^2+1
c) A=x^2-x+1/x^2+x+1
4) Cho x, y, z thuộc R thì x+y+z+xy+yz+zx=6. Tìm GTNN của A= x^2+y^2+z^2
5) Cho a, b, c thuộc R thỏa mãn: ab+bc+ca=5. Tìm min T=3a^2+3b^2+c^2
cho x+y+z=4 xy+xz+xt+yz+yt+zt=1 tìm GTNN của x2+y2+z2+t2
cho số thực thôar mãn x^2+y2+z^2<27 .tìm gtnn của x+y+z+xy+yz+zx
-Dấu lớn hơn hay lớn hơn hoặc bằng vậy bạn?
CHO x + y + z = 3
a , tìm GTNN của A= x2 + y2 + z2
b , tìm GTLN của B = xy + yz + xz
1/ x + y + z = 3. Tìm Max P = xy + yz + xz
Ta có: (x - y)² ≥ 0 <=> x² - 2xy + y² ≥ 0 <=> x² + y² ≥ 2xy
hay 2xy ≤ x² + y² , dấu " = " xảy ra <=> x = y
tương tự:
+) 2yz ≤ y² + z²
+) 2xz ≤ x² + z²
cộng 3 vế của 3 bđt trên
--> 2xy + 2yz + 2xz ≤ 2(x² + y² + z²)
--> xy + yz + xz ≤ x² + y² + z²
--> xy + yz + xz + 2xy + 2yz + 2xz ≤ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz
--> 3(xy + yz + xz) ≤ (x + y + z)²
--> 3(xy + yz + xz) ≤ 3²
--> xy + yz + xz ≤ 3
Vậy MaxP = 3 ; Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z = 1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
2/ x² + ax + bc = 0 (1)
x² + bx + ac =0 (2)
Gọi x1 ; x2 là 2 nghiệm của pt (1) và x1 ; x3 là 2 nghiệm của pt (2)
x1 là nghiệm chung của 2 pt
x1 là nghiệm của (1) --> (x1)² + a(x1) + bc = 0
x1 là nghiệm của (2) --> (x1)² + b(x1) + ac = 0
trừ vế với vế 2 pt trên, ta được: (x1).(a - b) + c(b - a) = 0
<=> (x1).(a - b) = c(a - b)
<=> x1 = c
thay vào (1) ta có: c² + ac + bc = 0
--> c + a + b = 0 (do c ≠ 0 nên chia cả 2 vế cho c)
--> a = - b - c ; b = - a - c ; a + b = -c
thay a = - b - c vào (1):
--> x² - (b + c)x + bc = 0 (1')
Áp dụng Viet, ta có: x1 + x2 = b + c ; mà x1 = c --> x2 = b
tương tự, thay b = - a - c vào (2):
--> x² - (a + c)x + ac = 0 (2')
Áp dụng Viet: x1 + x3 = a + c ; mà x1 = c --> x3 = a
Vậy
{ x2 + x3 = a + b
{ x2.x3 = ab
Theo định lý Viet đảo thì x2 và x3 là 2 nghiệm của pt:
x² - (a + b)x + ab =0
<=> x² + cx + ab =0 (do a + b = -c theo CM trên) --> ĐPCM
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
3/ Cho P(x) = x³ + ax² + bx + c . Giả sử P(1) = 5 ; P(2) = 10 . tính [P(12) - P(-9)] / 105
Đặt Q(x) = P(x) - 5x
Ta có:
Q(1) = P(1) - 5.1 = 5 - 5 = 0 --> x = 1 là 1 nghiệm của Q(x)
Q(2) = P(2) - 5.2 = 10 - 10 = 0 --> x = 2 cũng là 1 nghiệm của Q(x)
Do P(x) là đa thức bậc 3 --> Q(x) = P(x) - 5x cũng là đa thức bậc 3
--> Q(x) có 3 nghiệm, mà 2 nghiệm đã biết ở trên là x = 1 ; x = 2
Q(x) được biểu diễn dưới dạng:
Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - m)
mà Q(x) = P(x) - 5x
--> P(x) = Q(x) + 5x
--> P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - m) + 5x
P(12) = (12 - 1)(12 - 2)(12 - m) + 5.12 = 11.10.(12 - m) + 60
P(-9) = (-9 - 1)(-9 - 2)(-9 - m) + 5.(-9) = -10.11.(9 + m) - 45
--> [ P(12) - P(-9) ] / 105
= [ 11.10.(12 - m) + 60 + 10.11.(9 + m) + 45 ] / 105
= [ 11.10(12 - m + 9 + m) + 105) ] / 105
= (10.11.21 + 105) / 105
= (2.5.11.21 + 105) / 105
= (2.11.105 + 105) / 105
= 22 + 1 = 23
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
a)
Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz:
(x² + y² + z²)(1 + 1 + 1)
= (x² + y² + z²)(1² + 1² + 1²) ≥ (x + y + z)²
<--> (x² + y² + z²)(1² + 1² + 1²) ≥ 3² = 9
<--> 3(x² + y² + z²) ≥ 9
<--> x² + y² + z² ≥ 3
--> M ≥ 3
--> min M = 3 khi x = y = z = 1
b)
Ta có: (x - y)² ≥ 0 <=> x² - 2xy + y² ≥ 0 <=> x² + y² ≥ 2xy
hay 2xy ≤ x² + y² , dấu " = " xảy ra <=> x = y
tương tự:
+) 2yz ≤ y² + z²
+) 2xz ≤ x² + z²
cộng 3 vế của 3 bđt trên
--> 2xy + 2yz + 2xz ≤ 2(x² + y² + z²)
--> xy + yz + xz ≤ x² + y² + z²
--> xy + yz + xz + 2xy + 2yz + 2xz ≤ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz
--> 3(xy + yz + xz) ≤ (x + y + z)²
--> 3(xy + yz + xz) ≤ 3²
--> xy + yz + xz ≤ 3
Vậy MaxP = 3 ; Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z = 1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
2/ x² + ax + bc = 0 (1)
x² + bx + ac =0 (2)
Gọi x1 ; x2 là 2 nghiệm của pt (1) và x1 ; x3 là 2 nghiệm của pt (2)
x1 là nghiệm chung của 2 pt
x1 là nghiệm của (1) --> (x1)² + a(x1) + bc = 0
x1 là nghiệm của (2) --> (x1)² + b(x1) + ac = 0
trừ vế với vế 2 pt trên, ta được: (x1).(a - b) + c(b - a) = 0
<=> (x1).(a - b) = c(a - b)
<=> x1 = c
thay vào (1) ta có: c² + ac + bc = 0
--> c + a + b = 0 (do c ≠ 0 nên chia cả 2 vế cho c)
--> a = - b - c ; b = - a - c ; a + b = -c
thay a = - b - c vào (1):
--> x² - (b + c)x + bc = 0 (1')
Áp dụng Viet, ta có: x1 + x2 = b + c ; mà x1 = c --> x2 = b
tương tự, thay b = - a - c vào (2):
--> x² - (a + c)x + ac = 0 (2')
Áp dụng Viet: x1 + x3 = a + c ; mà x1 = c --> x3 = a
Vậy
{ x2 + x3 = a + b
{ x2.x3 = ab
Theo định lý Viet đảo thì x2 và x3 là 2 nghiệm của pt:
x² - (a + b)x + ab =0
<=> x² + cx + ab =0 (do a + b = -c theo CM trên) --> ĐPCM
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
3/ Cho P(x) = x³ + ax² + bx + c . Giả sử P(1) = 5 ; P(2) = 10 . tính [P(12) - P(-9)] / 105
Đặt Q(x) = P(x) - 5x
Ta có:
Q(1) = P(1) - 5.1 = 5 - 5 = 0 --> x = 1 là 1 nghiệm của Q(x)
Q(2) = P(2) - 5.2 = 10 - 10 = 0 --> x = 2 cũng là 1 nghiệm của Q(x)
Do P(x) là đa thức bậc 3 --> Q(x) = P(x) - 5x cũng là đa thức bậc 3
--> Q(x) có 3 nghiệm, mà 2 nghiệm đã biết ở trên là x = 1 ; x = 2
Q(x) được biểu diễn dưới dạng:
Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - m)
mà Q(x) = P(x) - 5x
--> P(x) = Q(x) + 5x
--> P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - m) + 5x
P(12) = (12 - 1)(12 - 2)(12 - m) + 5.12 = 11.10.(12 - m) + 60
P(-9) = (-9 - 1)(-9 - 2)(-9 - m) + 5.(-9) = -10.11.(9 + m) - 45
--> [ P(12) - P(-9) ] / 105
= [ 11.10.(12 - m) + 60 + 10.11.(9 + m) + 45 ] / 105
= [ 11.10(12 - m + 9 + m) + 105) ] / 105
= (10.11.21 + 105) / 105
= (2.5.11.21 + 105) / 105
= (2.11.105 + 105) / 105
= 22 + 1 = 23
a> Cho x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức: x^3 + y^3 + x^2 + y^2
b> Cho x + y + z = 3. Tìm GTLN của biểu thức xy + yz + zx
c> Tìm GTNN của biểu thức M= x^2 + 6y^2 + 14z^2 - 8yz + 6zx - 4xy
dhgxkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
a> Cho x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức: x^3 + y^3 + x^2 + y^2
b> Cho x + y + z = 3. Tìm GTLN của biểu thức xy + yz + zx
c> Tìm GTNN của biểu thức M= x^2 + 6y^2 + 14z^2 - 8yz + 6zx - 4xy
Cho x y là số thực thỏa mãn x - y - xy=3 Tìm GTNN của A= x2 +y2
CHO x + y + z = 3
a , tìm GTNN của A= x2 + y2 + z2
b , tìm GTLN của B = xy + yz + xz
giúp đỡ nha mấy bạn
Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz:
(x² + y² + z²)(1 + 1 + 1)
= (x² + y² + z²)(1² + 1² + 1²) ≥ (x + y + z)²
<--> (x² + y² + z²)(1² + 1² + 1²) ≥ 3² = 9
<--> 3(x² + y² + z²) ≥ 9
<--> x² + y² + z² ≥ 3
--> M ≥ 3
--> min M = 3 khi x = y = z = 1
x + y + z = 3. Tìm Max P = xy + yz + xz
Ta có: (x - y)² ≥ 0 <=> x² - 2xy + y² ≥ 0 <=> x² + y² ≥ 2xy
hay 2xy ≤ x² + y² , dấu " = " xảy ra <=> x = y
tương tự:
+) 2yz ≤ y² + z²
+) 2xz ≤ x² + z²
cộng 3 vế của 3 bđt trên
--> 2xy + 2yz + 2xz ≤ 2(x² + y² + z²)
--> xy + yz + xz ≤ x² + y² + z²
--> xy + yz + xz + 2xy + 2yz + 2xz ≤ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz
--> 3(xy + yz + xz) ≤ (x + y + z)²
--> 3(xy + yz + xz) ≤ 3²
--> xy + yz + xz ≤ 3
Vậy MaxP = 3 ; Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z = 1