Chứng minh hàm số : \(y=f\left(x\right)=3^x\left(x-\sqrt{x^2+1}\right)\) nghịch biến trên R
xét tính đồng biến nghịch biến của các hàm số trên
\(y=f\left(x\right)=x^2-2x+3\) trên khoảng \(_{\left(1;+\infty\right)}\)
y=f(x)=\(\sqrt{3-x}\) trên khoảng \(\left(-\infty;3\right)\)
cho hàm số bậc nhất y=F(x)=\(\left(\sqrt{3}-1\right)\) X+1
a) hàm số trên là đồng biến hay nghịch biến trên R
b)tính các giá trị F(0);F\(\left(\sqrt{3}+1\right)\)
Lời giải:
a. Vì $\sqrt{3}-1>0$ nên hàm trên là hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$
b.
$F(0)=(\sqrt{3}-1).0+1=1$
$F(\sqrt{3}+1)=(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)+1=(3-1)+1=3$
tìm các giá trị của m để hàm số sau
a) \(y=-x^3-\left(m+1\right)x^2+3\left(m+1\right)x\) nghịch biến trên R
b) \(y=-\dfrac{1}{3}x^3+mx^2-\left(2m+3\right)x\) nghịch biến trên R
a: \(y=-x^3-\left(m+1\right)x^2+3\left(m+1\right)x\)
=>\(y'=-3x^2-\left(m+1\right)\cdot2x+3\left(m+1\right)\)
=>\(y'=-3x^2+x\cdot\left(-2m-2\right)+\left(3m+3\right)\)
Để hàm số nghịch biến trên R thì \(y'< =0\forall x\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\text{Δ}< =0\\a< 0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left(-2m-2\right)^2-4\cdot\left(-3\right)\left(3m+3\right)< =0\\-3< 0\end{matrix}\right.\)
=>\(4m^2+8m+4+12\left(3m+3\right)< =0\)
=>\(4m^2+8m+4+36m+36< =0\)
=>\(4m^2+44m+40< =0\)
=>\(m^2+11m+10< =0\)
=>\(\left(m+1\right)\left(m+10\right)< =0\)
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}m+1>=0\\m+10< =0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}m>=-1\\m< =-10\end{matrix}\right.\)
=>\(m\in\varnothing\)
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}m+1< =0\\m+10>=0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}m< =-1\\m>=-10\end{matrix}\right.\)
=>-10<=m<=-1
b: \(y=-\dfrac{1}{3}x^3+mx^2-\left(2m+3\right)x\)
=>\(y'=-\dfrac{1}{3}\cdot3x^2+m\cdot2x-\left(2m+3\right)\)
=>\(y'=-x^2+2m\cdot x-\left(2m+3\right)\)
Để hàm số nghịch biến trên R thì \(y'< =0\forall x\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\text{Δ}< =0\\a< 0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}-1< 0\\\left(2m\right)^2-4\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-2m-3\right)< =0\end{matrix}\right.\)
=>\(4m^2+4\left(-2m-3\right)< =0\)
=>\(m^2-2m-3< =0\)
=>(m-3)(m+1)<=0
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}m-3>=0\\m+1< =0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}m>=3\\m< =-1\end{matrix}\right.\)
=>\(m\in\varnothing\)
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}m-3< =0\\m+1>=0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}m< =3\\m>=-1\end{matrix}\right.\)
=>-1<=m<=3
hàm số \(y=\left(\sqrt{2}-1\right)x-3\) đồng biến hay nghịch biến trên R? vì sao ?
Vì \(\sqrt{2}-1=\sqrt{2}-\sqrt{1}>0\)
nên hàm số \(y=\left(\sqrt{2}-1\right)x-3\) đồng biến trên R
Hàm số y =(\(\sqrt{ }\)2 -1)x-3 là đồng biến trên R. Vì Hàm số trên có tính chất :
- Đồng biên trên R với a > 0
- Nghịch biến trên R với a < 0
tìm m để hàm số:
a y=\(\left(\sqrt{7-m}-1\right)x+2\) đồng biến trên R
b y=\(\left(m^2+m+1\right)x-5\) nghịch biến trên R
a.
Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}7-m\ge0\\\sqrt{7-m}-1>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\le7\\m< 6\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m< 6\)
b. Để hàm nghịch biến trên R
\(\Leftrightarrow m^2+m+1< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}< 0\) (vô lý)
Vậy ko tồn tại m thỏa mãn yêu cầu
cảm ơn tất cả mọi người,đấy là bài cuối của tuần này rồi
hãy nêu tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số bậc nhất sau:
a, y=2x-7
b, y=\(\left(1-\sqrt{2}\right)x+\sqrt{3}\)
c, y=-5x+2
d, y=\(\left(1+m^2\right)x-6\)
e, y=\(y=\left(\sqrt{3}-1\right)x+2\)
f=(2+m^2)x+1
Lời giải:
a. Hệ số 2>0 nên hàm đồng biến
b. Hệ số $1-\sqrt{2}<0$ nên hàm nghịch biến
c. Hệ số $-5<0$ nên hàm nghịch biến
d. Hệ số $1+m^2>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$ nên hàm đồng biến
e. Hệ số $\sqrt{3}-1>0$ nên hàm đồng biến
f. Hệ số $2+m^2>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$ nên hàm đồng biến.
Câu 48. Cho y=\(\left|x+1\right|+\left|x-2\right|\)và các mệnh đề
Câu 49. Hàm số y=-\(\sqrt{\left|2x+3\right|}\) nghịch biến trên khoảng.
Câu 50. Hàm số y = 2 là hàm số gì.
Câu 50: Hàm số y=2 là hàm số hằng
tìm các giá trị của m để hàm số sau
a) \(y=-x^3+\left(m+2\right)x^2-3x\) nghịch biến trên R
b) \(y=x^3-3x^2+\left(1-m\right)x\) đồng biến trên R
a: \(y=-x^3+\left(m+2\right)x^2-3x\)
=>\(y'=-3x^2+2\left(m+2\right)x-3\)
=>\(y'=-3x^2+\left(2m+4\right)\cdot x-3\)
Để hàm số nghịch biến trên R thì \(y'< =0\forall x\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left(2m+4\right)^2-4\cdot\left(-3\right)\left(-3\right)< =0\\-3< 0\end{matrix}\right.\)
=>\(4m^2+16m+16-4\cdot9< =0\)
=>\(4m^2+16m-20< =0\)
=>\(m^2+4m-5< =0\)
=>\(\left(m+5\right)\left(m-1\right)< =0\)
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}m+5>=0\\m-1< =0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}m>=-5\\m< =1\end{matrix}\right.\)
=>-5<=m<=1
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}m+5< =0\\m-1>=0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}m>=1\\m< =-5\end{matrix}\right.\)
=>\(m\in\varnothing\)
b: \(y=x^3-3x^2+\left(1-m\right)x\)
=>\(y'=3x^2-3\cdot2x+1-m\)
=>\(y'=3x^2-6x+1-m\)
Để hàm số đồng biến trên R thì \(y'>=0\forall x\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\text{Δ}< =0\\a>0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}3>0\\\left(-6\right)^2-4\cdot3\left(1-m\right)>=0\end{matrix}\right.\)
=>\(36-12\left(1-m\right)>=0\)
=>\(36-12+12m>=0\)
=>12m+24>=0
=>m+2>=0
=>m>=-2
Biến đổi các hàm số sau thành hàm số bậc nhất, nếu đã là hàm số bậc nhất hãy xét sự đồng biến, nghịch biến trên \(R\)
a. \(y=5x-\left(2-x\right)m\)
b. \(y=3\left(x-1\right)-\sqrt{5}x\)
c. \(y=\left(2-\sqrt{3}\right)x-\sqrt{2}x+1\)
d. \(y=\left(5-4m+m^2\right)x+2\)