Giải hệ sau:
\(\begin{cases}\sqrt{x^2+91}=\sqrt{y-2}+y^2\\\sqrt{y^2+91}=\sqrt{x-2}+x^2\end{cases}\)
Giải hệ sau
\(\begin{cases}\sqrt{16x^2+3}+4\sqrt{x}=3+2\sqrt{y}\\\sqrt{16y^2+3}+4\sqrt{y}=3+2\sqrt{x}\end{cases}\)
Giải HPT: \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x^2+91}=\sqrt{y-2}+y^2\left(1\right)\\\sqrt{y^2+91}=\sqrt{x-2}+x^2\left(2\right)\end{cases}}\)
Where is "Thiên tài" . Help me!!
ĐKXĐ: \(x\ge2,y\ge2\): Lấy (1) - (2) vế với vế ta được:
\(\sqrt{x^2+91}-\sqrt{y^2+91}=\sqrt{y-2}-\sqrt{x-2}+y^2-x^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2-y^2}{\sqrt{x^2+91}+\sqrt{y^2+91}}=\frac{y-x}{\sqrt{y-2}+\sqrt{x-2}}+\left(y-x\right)\left(y+x\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(\frac{x+y}{\sqrt{x^2+91}+\sqrt{y^2+91}}+\frac{1}{\sqrt{x-2}+\sqrt{y-2}}+x+y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=y\)(trong ngoặc luôn dương và \(x,y\ge2\).
Vậy từ hệ trên, ta có:
\(\sqrt{x^2+91}=\sqrt{x-2}+x^2\Leftrightarrow\sqrt{x^2+91}-10=\sqrt{x-2}-1+x^2-9\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2-9}{\sqrt{x^2+91}+10}=\frac{x-3}{\sqrt{x-2}+1}+\left(x-3\right)\left(x+3\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(\left(x+3\right)\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+91}+10}-1\right)-\frac{1}{\sqrt{x-2}+1}\right)=0\Leftrightarrow x=3\)
Vậy .....
P/s: Pain và Thắng không biết thì đừng chọn sai ok?
ĐK: \(x,y\ge2\)
Cộng hai vế ta có:
\(x^2+\sqrt{x-2}+\sqrt{x^2+91}=y^2+\sqrt{y-2}+\sqrt{y^2+91}\)
Xét \(f\left(t\right)=t^2+\sqrt{t-2}+\sqrt{t^2+91}\text{ tren }\left[2;+\infty\right]\text{ thi }f'\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{t^2+91}}+\frac{1}{2\sqrt{t-2}}\)
f(t) đồng biến trên \(\left[2;+\infty\right]\)
Thế x = y vào phương trình (1), nhận xét rằng x ≥ 2
Xét \(g\left(x\right)=\sqrt{x^2+91}-\sqrt{x-2}-x^2\)
\(\Rightarrow g'\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{x^2+91}}-\frac{1}{2\sqrt{x-2}}-2x\le\frac{x}{\sqrt{x^2+91}}-4-\frac{1}{2\sqrt{x-2}}< 1-4-\frac{1}{2\sqrt{x-2}}< 0...\)
Nên g(x) đồng biến trên [2;+∞]. Vậy nếu phương trình g(x) = 0 có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình.
Từ đó suy ra phươn trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (3; 3)
Thêm cái cuối nữa là:
Vì x = y mà x = 3 nên suy ra x = y = 3
Giải hệ: \(\hept{\begin{cases}x+\sqrt{x^2-2x+5}=3y+\sqrt{y^2+4}\\x^2-y^2-3x+3y+1=0\end{cases}}\)
Giải như sau.
(1)+(2)⇔x2−2x+1+√x2−2x+5=y2+√y2+4⇔(x2−2x+5)+√x2−2x+5=y2+4+√y2+4⇔√y2+4=√x2−2x+5⇒x=3y(1)+(2)⇔x2−2x+1+x2−2x+5=y2+y2+4⇔(x2−2x+5)+x2−2x+5=y2+4+y2+4⇔y2+4=x2−2x+5⇒x=3y
⇔√y2+4=√x2−2x+5⇔y2+4=x2−2x+5, chỗ này do hàm số f(x)=t2+tf(x)=t2+t đồng biến ∀t≥0∀t≥0
Công việc còn lại là của bạn !
Giải hệ phương trình:
\(\hept{\begin{cases}x^3+y^3=\left(x^2+y^2\right)\sqrt{x^2-xy+y^2}\\xy=\sqrt{4x-3}\end{cases}}\)
\(x^3+y^3=\left(x^2+y^2\right)\sqrt{x^2-xy+y^2}\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3+y^3\right)^2=\left(x^2+y^2\right)^2.\left(x^2-xy+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2.\left(x^2-xy+y^2\right)^2=\left(x^2+y^2\right)^2.\left(x^2-xy+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2.\left(x^2-xy+y^2\right)=\left(x^2+y^2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3+y^3\right)\left(x+y\right)=\left(x^2+y^2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^4+x^3y+xy^3+y^4=x^4+y^4+2x^2y^2\)
\(\Leftrightarrow x^3y+xy^3-2x^2y^2=0\)
\(\Leftrightarrow xy\left(x^2-2xy+y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{4x-3}.\left(x-y\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{4x-3}=0\\\left(x-y\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}4x-3=0\\x-y=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=\frac{3}{4}\\x=y\end{cases}}\)
Xét trường hợp:
Với x=3/4
=>\(x=\frac{3}{4}\Leftrightarrow y.\frac{3}{4}=0\Leftrightarrow y=0\)
Với: \(x=y\)
Có: \(xy=\sqrt{4x-3}\Leftrightarrow x^2y^2=4x-3\Leftrightarrow x^4-4x+3=0\Leftrightarrow x\left(x^3-1\right)-3\left(x-1\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[x^2\left(x-1\right)+2x\left(x-1\right)+3\left(x-1\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-1\right)\left(x^2+2x+3\right)=0\)( vì x^2+2x+3 luôn dương. Tự c/m nhé )
\(\Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1\)\(\Leftrightarrow x=y=1\)
KL:.................................
Giải hệ phương trình: \(\begin{cases}\sqrt{2y^2+3x+1}+\sqrt{1-3x}=2\sqrt{y^2+1}\\y^3+1+\sqrt[3]{y^3-3x^2+3x-1}=x\left(y^2+1\right)\end{cases}\)
Giải hệ phương trình: \(\begin{cases}\frac{y^2\left(y^2-x\right)+\sqrt{y^2+2}}{-x^2-x+2}=\frac{1}{\sqrt{x+3}-x-1}\\3y^4+y^2-\left(2x+4\right)\sqrt{3x^2+x+1}=0\end{cases}\)
Giải hệ phương trình: \(\begin{cases}3\sqrt[3]{3x^2+y+1}=\left(x-1\right)^3-y\\x^3-y-2x^2+2x+\sqrt{x}=\sqrt{x^3-y-2x^2+2x+21}\end{cases}\)
Giải hệ phương trình: \(\begin{cases}y^3-3y^2-6x+2=\frac{\sqrt{y^3+6x+10}-\sqrt{2y^3-3y^2}}{x^2+2x+2016}\\\sqrt{2x^2-xy+x}=3y-2x-3\end{cases}\)
Giải hệ phương trình \(\hept{\begin{cases}2\sqrt{x}\left(1+\frac{1}{x+y}\right)=3\\2\sqrt{y}\left(1-\frac{1}{x+y}\right)=1\end{cases}}\)