https://hoc24.vn/hoi-dap/question/129628.html

a) Nếu n là số chính phương lẻ thì n = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 4k(k+1) + 1

Ta thấy ngay k(k + 1) chia hết cho 2, vậy thì 4k(k + 1) chia hết cho 8.

Vậy n chia 8 dư 1.

b) Em tham khảo tại link dưới đây nhé.

Câu hỏi của Đình Hiếu - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

2n+1=a^2 (1), 3n+1=b^2 (2)

Từ (1) suy ra a lẻ, đặt a=2k+1 suy ra 2n+1=4k^2+4k+1, n=2k^2+2k, suy ra n chẵn

suy ra 3n+1 lẻ, từ 2 suy ra b lẻ. Đặt b=2p+1

(1)+(2) ta có 5n+2=4k^2+4k+1+4p^2+4p+1, suy ra 5n=4k(k+1)+4p(p+1)

suy ra 5n chia hết cho 8, suy ra n chia hết cho 8

Ta cần chứng minh n chia hết cho 5

Số chính phương có các tận cùng là 0,1,4,5,6,9

Lần lượt xét các trường hợp n=5q+1, 5q+2, 5q+3,5q+4, đều không thỏa mãn 2n+1, 3n+1 là số chính phương. Vậy n phải chia hêts cho 5

Mà 5 và 8 nguyên tố cùng nhau, nên n chia hết cho 40 (đpcm)

Vì 2n+1 là số chính phương lẻ nên

2n+1≡1(mod8)⇒2n⋮8⇒n⋮4

Do đó n+1 cũng là số lẻ, suy ra

n+1≡1(mod8)⇒n⋮8

Lại có

(n+1)+(2n+1)=3n+2

Ta thấy

3n+2≡2(mod3)

Suy ra

(n+1)+(2n+1)≡2(mod3)

Mà n+1 và 2n+1 là các số chính phương lẻ nên

n+1≡2n+1≡1(mod3)

Do đó: n⋮3

Vậy ta có đpcm.

Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n + 1 và 2n + 1 đều là các số chính phương thì n là bội của 24

Vì 2 n - 1 là số chính phương . Mà 2n - 1 lẻ

⇒2n+1=1(mod8)⇒2n+1=1(mod8)

=> n ⋮⋮ 4

=> n chẵn

=> n+1 cũng là số lẻ

⇒n+1=1(mod8)⇒n+1=1(mod8)

=> n ⋮⋮ 8

Mặt khác :

3n+2=2(mod3)3n+2=2(mod3)

⇒(n+1)+(2n+1)=2(mod3)⇒(n+1)+(2n+1)=2(mod3)

Mà n+1 và 2n+1 là các số chính phương lẻ

⇒n+1=2n+1=1(mod3)⇒n+1=2n+1=1(mod3)

=> n chia hết cho 3

Mà ( 3 ; 8 ) = 1

=> n chia hết cho 24

 Bạn tham khảo: !!!

Vì 2n-1 là số chính phương. Mà 2n-1 lẻ

\(\Rightarrow2n+1=1\left(mod8\right)\)

\(\Rightarrow n⋮4\)

\(\Rightarrow\)n chẵn

\(\Rightarrow n+1\)lẻ

\(\Rightarrow n+1=1\left(mod8\right)\)

\(\Rightarrow n⋮8\)

  Mặt khác

\(3n+2=2\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow\left(n+1\right)+\left(2n+1\right)=2\left(mod3\right)\)

Mà n+1 và 2n+1 đều là các số chính phương lẻ

\(\Rightarrow n\text{+}1=2n\text{+}1=1\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow n⋮3\)

    Mà (3:8)=1

\(\Rightarrow n⋮24\)

a là số tự nhiên > 0. giả sử có m,n > 0 ∈ Z để: 
2a + 1 = n^2 (1) 
3a +1 = m^2 (2) 
từ (1) => n lẻ, đặt: n = 2k+1, ta được: 
2a + 1 = 4k^2 + 4k + 1 = 4k(k+1) + 1 
=> a = 2k(k+1) 
vậy a chẵn . 
a chẳn => (3a +1) là số lẻ và từ (2) => m lẻ, đặt m = 2p + 1 
(1) + (2) được: 
5a + 2 = 4k(k+1) + 1 + 4p(p+1) + 1 
=> 5a = 4k(k+1) + 4p(p+1) 
mà 4k(k+1) và 4p(p+1) đều chia hết cho 8 => 5a chia hết cho 8 => a chia hết cho 8 

ta cần chứng minh a chia hết cho 5: 
chú ý: số chính phương chỉ có các chữ số tận cùng là; 0,1,4,5,6,9 
xét các trường hợp: 
a = 5q + 1=> n^2 = 2a+1 = 10q + 3 có chữ số tận cùng là 3 (vô lý) 

a =5q +2 => m^2 = 3a+1= 15q + 7 có chữ số tận cùng là 7 (vô lý) 
(vì a chẵn => q chẵn 15q tận cùng là 0 => 15q + 7 tận cùng là 7) 

a = 5q +3 => n^2 = 2a +1 = 10a + 7 có chữ số tận cùng là 7 (vô lý) 

a = 5q + 4 => m^2 = 3a + 1 = 15q + 13 có chữ số tận cùng là 3 (vô lý) 

=> a chia hết cho 5 

5,8 nguyên tố cùng nhau => a chia hết cho 5.8 = 40 
hay : a là bội số của 40

Vì 2n+1 là số chính phương lẻ nên 

2n+1≡1(mod8)⇒2n⋮8⇒n⋮42n+1≡1(mod8)⇒2n⋮8⇒n⋮4

Do đó n+1 cũng là số lẻ, suy ra

n+1≡1(mod8)⇒n⋮8n+1≡1(mod8)⇒n⋮8

Lại có

(n+1)+(2n+1)=3n+2(n+1)+(2n+1)=3n+2

Ta thấy

3n+2≡2(mod3)3n+2≡2(mod3)

Suy ra

(n+1)+(2n+1)≡2(mod3)(n+1)+(2n+1)≡2(mod3)

Mà n+1 và 2n+1 là các số chính phương lẻ nên

n+1≡2n+1≡1(mod3)n+1≡2n+1≡1(mod3)

Do đó

n⋮3n⋮3

Vậy ta có đpcm.

bạn vào  https://h.vn/hoi-dap/quesion/129628.html