vì bài dài quá nên mình làm từng bài 1 nhé

1. Ta thấy : \(\frac{1}{n^3}< \frac{1}{n^3-n}=\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}=\frac{1}{2}.\frac{\left(n+1\right)-\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}=\frac{1}{2}.\left[\frac{1}{\left(n-1\right)n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right]\)

Do đó : 

\(B< \frac{1}{2}.\left[\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+\frac{1}{3.4}-\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right]< \frac{1}{2}.\frac{1}{6}=\frac{1}{12}\)

2.

Nhận xét : \(1+\frac{1}{n\left(n+2\right)}=\frac{\left(n+1\right)^2}{n\left(n+2\right)}\)

Do đó : 

\(A=\frac{2^2}{1.3}.\frac{3^2}{2.4}.\frac{4^2}{3.5}...\frac{\left(n+1\right)^2}{n\left(n+2\right)}=\frac{2.3...\left(n+1\right)}{1.2...n}.\frac{2.3...\left(n+1\right)}{3.4...\left(n+2\right)}=\frac{n+1}{1}.\frac{2}{n+2}< 2\)

3.

Nhận xét ; \(1-\frac{2}{n\left(n+1\right)}=\frac{n^2+n-2}{n\left(n+1\right)}=\frac{\left(n-1\right)\left(n+2\right)}{n\left(n+1\right)}\)

Do đó : \(B=\frac{1.4}{2.3}.\frac{2.5}{3.4}...\frac{\left(n-1\right)n\left(n+2\right)}{n\left(n+1\right)}\)

Rút gọn được : B = \(\frac{1}{n}.\frac{n+2}{3}>\frac{1}{3}\)

\(B=\left(1-\frac{3}{2.4}\right)\left(1-\frac{3}{3.5}\right)\left(1-\frac{3}{4.6}\right)...\left(1-\frac{3}{n\left(n+2\right)}\right)\)

\(=\frac{1.5}{2.4}.\frac{2.6}{3.5}.\frac{3.7}{4.6}...\frac{\left(n-1\right)\left(n+3\right)}{n\left(n+2\right)}\)

\(=\frac{\left[1.2.3...\left(n-1\right)\right]\left[5.6.7...\left(n+3\right)\right]}{\left(2.3.4...n\right)\left[4.5.6...\left(n+2\right)\right]}\)

\(=\frac{n+3}{4n}< 2\left(đpcm\right)\)

Ta thấy: 1+ 2/ n^2+3n = n^2+3n+2 / n(n+3) =(n+1)(n+2) /n(n+3)

Áp dụng công thức trên,ta có:

A= (1+2/4 )(1+ 2/10)(1+2/18).....(1+2/ n^2+3n)

=(1+2 /1x4)( 1+2 /2x5)(1+2 /3x6).....[ (n+1)(n+2)/ n(n+3)]

=(2x3 /1x4)(3x4 /2x5)(4x5 /3x6).....[ (n+1)(n+2) /n(n+3)]

= 3x(n+1 /n+3)

Vì n+1 /n+3 <1 với mọi n thuộc N nên 3x(n+1 /n+3) <3

Vậy A<3

3ⁿ⁺² - 2ⁿ⁺² +3ⁿ - 2ⁿ = 3ⁿ . 3² - 2ⁿ. 2² +3ⁿ -2ⁿ

                             = 3ⁿ(3²+1) - (2ⁿ.2² +2ⁿ)

                             =3ⁿ . 10 - 2ⁿ .5

                             =3ⁿ.10 - 2^n-1 .2 .5

                             = 3ⁿ.10 - 2^n-1 .10

                             = 10(3ⁿ - 2^n-1)

vì 10 chia hết cho 10 nên 10(3ⁿ-2^n-1) chia hết cho 10

                         =>  3ⁿ⁺² - 2ⁿ⁺² +3ⁿ -2ⁿ chia hết cho 10

Ai làm nhanh nhất mình sẽ **** xin cảm ơn các bạn mình đang cần gấp

Ta có: \(n+\left(n+1\right)>2\sqrt{n\left(n+1\right)}\left(AM-GM\right)\) suy ra:

\(\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}=\frac{1}{\left(2n+1\right).\frac{\left(n+1\right)-n}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+\left(n+1\right)}< \frac{1}{2}.\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n\left(n+1\right)}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)Áp dụng vào ta có:

\(S_n< \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{n+1}}< \frac{1}{2}\left(đpcm\right).\)

Đây bạn:

/hoi-dap/question/55444.html

khó ko nhỉ :D 

/hoi-dap/question/55444.html

Bạn bấn vào đây, câu hỏi của bạn có người trả lời rồi Câu hỏi của Lương Ngọc Anh - Toán lớp 9 | Học trực tuyến