\(=>A+B-C+D=a+b-5-b-c+1-b+c+4+b-a\)

\(=-5+4=-1\)

các bài toán bên dưới đều có thể áp dụng bđt tổng quát sau: 
a²/x + b²/y + c²/z + d²/t ≥ (a+b+c+d)² /(x+y+z+t) (*-*) 
bao nhiêu cặp số cũng đc trong đó có đk x, y, z, t > 0 
dấu "=" khi a/x = b/y = c/z = d/y 
~ ~ ~ ~ 
chứng minh là hệ quả trực tiếp từ bđt Bunhiacopski 
hoặc cách khác: với 2 cặp số: a²/x + b²/y ≥ (a+b)²/(x+y) 
ta chứng minh bằng biến đổi tương đương sẽ bđt đúng là (ay-bx)² ≥ 0 
ad: a²/x + b²/y + c²/z ≥ (a+b)²/(x+y) + c²/z ≥ (a+b+c)²/(x+y+z) 
cứ bổ sung thêm vào ta cm được cho 4, 5... cặp số 
~ ~ ~ ~ 
1) ad (*-*) với 5 cặp số: 
1/a + 1/a + 1/b + 1/c + 1/d ≥ (5)² /(2a+b+c+d) 
=> 25/(2a+b+c+d) ≤ 2/a + 1/b + 1/c + 1/d 
tương tự: 25/(a+2b+c+d) ≤ 2/b + 1/a + 1/c + 1/d 
25/(a+b+2c+d) ≤ 2/c + 1/a + 1/b + 1/d 
25/(a+b+c+2d) ≤ 2/d + 1/a + 1/b + 1/c 
cộng lại 4 bđt trên: 
25.VT ≤ 5(1/a + 1/b + 1/c +1/d) = 25 => VT ≤ 1 (đpcm) ; dấu "=" khi a = b = c = d = 1 
~ ~ ~ ~ 
2) ad bđt (*-*) với 4 cặp số: 
a/(b+c) + b/(c+d) + c/(d+a) + d/(a+b) = 
= a²/(ab+ac) + b²/(bc+bd) + c²/(cd+ca) + d²/(da+db) ≥ 
≥ (a+b+ c+d)²/(ab+ac +bc+bd + cd+ca + da+db) cần cm ≥ 2 
qui đồng, khai triển rút gọ => cần cm a²+b²+c²+d² ≥ 2ca + 2db 
<=> (a-c)² + (b-d)² ≥ 0 là bđt đúng => đpcm 
~ ~ ~ ~ 
3) hình như lại ghi sai đề, thử thay a = 2, b = c = 1 có: 
a/(b+2a) + b/(c+2a) + c/(a+2b) = 2/5 + 1/5 + 1/4 = 17/20 ≥ 1 (???) 
~ ~ ~ ~ 
4) vẫn ad (*-*): dùng luôn cho 8 cặp số (hoặc tách thành vài lần kủng đc) 
1/a + 3(1/b) + 4(1/c) ≥ (1+3+4)² /(a+3b+4c) 
1/b + 3(1/c) + 4(1/a) ≥ (1+3+4)² /(b+3c+4a) 
1/c + 3(1/a) + 4(1/b) ≥ (1+3+4)² /(c+3a+4b) 

cộng lại hết: 
8(1/a + 1/b + 1/c) ≥ 8²/(a+3b+4c) + 8²/(b+3c+4a) + 8²/(c+3a+4b) 
=> 8²/(a+3b+4c) + 8²/(b+3c+4a) + 8²/(c+3a+4b) ≤ 8(bc+ca+ab)/abc = 8 
=> 1/(a+3b+4c) + 1/(b+3c+4a) + 1/(c+3a+4b) ≤ 1/8 (đpcm) 
dấu "=" khi a = b = c = 3 
~ ~ ~ ~ ~ 
5) ad (*-*) 
a/(a+2b+3c) + b/(b+2c+3a) + c/(c+2a+3b) = 
= a²/(a²+2ab+3ac) + b²/(b²+2bc+3ab) + c²/(c²+2ac+3bc) ≥ 
≥ (a+b+c)² /(a²+b²+c² + 5ab + 5ac + 5bc) 

mặt khác có bđt: a²+b²+c² ≥ ab+bc+ca 
=> (a+b+c)² = a²+b²+c² + 2ab+2bc+2ca ≥ 3ab+bc+3ca 
=> 2(a+b+c)² ≥ (a+b+c)² + 3ab+3bc+3ca = a²+b²+c² + 5ab+5bc+5ca 
=> (a+b+c)² /(a²+b²+c² + 5ab + 5ac + 5bc) ≥ 1/2 

thay vào trên ta có VT ≥ 1/2 (đpcm); dấu "=" khi a = b = c 

ta co : -(a-b-c)+(-a+b-c)-(-a+b+c)=-a+b+c+(-a)+b+(-c)+a-b-c

                                                          =(-a+a)+(b-b)+(c-c)-a+b+(-c)

                                                         =-a+b+(-c)

                                                          =-(a-b+c)

\(\Rightarrow dpcm\)

Quá dễ. Phá ngoặc ở VT ra, biến đổi về VP

Đề bài thiếu rồi bạn ơi

Thì diễn nhiên A+B>C+D

Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\)

=>\(a=bk;c=dk\)

\(\left(\dfrac{a+b}{c+d}\right)^2=\left(\dfrac{bk+b}{dk+d}\right)^2\)

\(=\left(\dfrac{b\left(k+1\right)}{d\left(k+1\right)}\right)^2=\left(\dfrac{b}{d}\right)^2\)(1)

\(\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\dfrac{\left(bk\right)^2+b^2}{\left(dk\right)^2+d^2}=\dfrac{b^2k^2+b^2}{d^2k^2+d^2}\)

\(=\dfrac{b^2\left(k^2+1\right)}{d^2\left(k^2+1\right)}=\dfrac{b^2}{d^2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\left(\dfrac{a+b}{c+d}\right)^2=\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}\)