sai đề ?

đúng bạn ơi

bé hơn hoặc bằng nhá các bạn

 a+b+c+ab+bc+ac = 6abc \(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=6\)

Đặt \(A=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)

Ta có : \(\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2\ge0\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}\)

Cmtt : \(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{2}{bc};\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2}\ge\frac{2}{ca}\)

Ta có : \(\left(\frac{1}{a}-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+1\ge\frac{2}{a}\)

Cmtt : \(\frac{1}{b^2}+1\ge\frac{2}{b};\frac{1}{c^2}+1\ge\frac{2}{c}\)

\(3A+3\ge2.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=2.6=12\)

\(\Leftrightarrow A+1\ge4\Leftrightarrow A\ge3\left(đpcm\right)\)

Chúc bạn học tốt !!!

Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\)

\(a+b+c+ab+ac+bc=6abc\) \(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=6\)

Hay \(x+y+z+xy+yz+xz=6\)

Cần chứng minh \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=x^2+y^2+z^2\ge3\)

Ta có : \(\left(x^2+1\right)+\left(y^2+1\right)+\left(z^2+1\right)\ge2\left(x+y+z\right)\) (BĐT Cosi)

\(2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+xz\right)\) (BĐT Cosi)

\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+xz\right)=12\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

1) Trước hết ta đi chứng minh BĐT : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)  với \(a,b>0\) (1) 

Thật vậy : BĐT  (1) \(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}-\frac{4}{a+b}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2-4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)  ( luôn đúng )

Vì vậy BĐT (1) đúng.

Áp dụng vào bài toán ta có:

\(\frac{1}{4}\left(\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{a+c}\right)\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\)

                                                                 \(=\frac{1}{4}\cdot\left[2.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\right]=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Vậy ta có điều phải chứng minh !

Bài 1 : 

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\) với a , b > 0

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\\\frac{1}{b+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\\\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\end{cases}}\)

Cộng theo từng vế 

\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\le\frac{1}{4}\left(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)( đpcm)

2 )

Áp dụng bất đẳng thức Cacuchy - Schwarz :
\(VT=\frac{a^4}{a^2b}+\frac{b^4}{b^2c}+\frac{c^4}{c^2a}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2b+b^2c+c^2a}\left(1\right)\)

Vì \(a+b+c=1\)nên 

\(a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(=\left(a^3++ab^2+b^3+bc^2+c^3+ca^2\right)+\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)

Áp dụng AM - GM 

\(a^3+ab^2\ge2a^2b\). Tương tự cho 2 cặp còn lại suy ra 

\(a^3+b^3+c^3+ab^2+bc^2+ca^2\ge2\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow VT\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(đpcm\right)\)

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

\(GT\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=6\)

Ta có:

\(2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\ge2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\)

\(\frac{1}{a^2}+1+\frac{1}{b^2}+1+\frac{1}{c^2}+1\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Cộng vế với vế:

\(3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+3\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=12\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge3\)

https://olm.vn/hoi-dap/detail/223126660207.html?pos=512235459592

Giờ mình mới để ý , câu này có trong chuyên đề : Bất đẳng thức Cauchy (Cô si) của cô Nguyễn Linh Chi (ở phần dạng toán và hướng dẫn giải) (mình đã inbox link cho bạn rồi)

Còn đề bạn viết sai rồi nhé

Ta có: 

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{a+b}=\frac{a+b}{ab}+\frac{2}{a+b}\) . Do giả thiết cho \(ab=1\)

\(\Rightarrow\frac{a +b}{ab}+\frac{2}{a+b}=a+b+\frac{2}{a+b}=\frac{a+b}{2}+\frac{a+b}{2}+\frac{2}{a+b}\)

Áp dụng Bất đẳng thức Cô-si: \(\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\)

Ta có: \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}=1\)

Ta sẽ chứng minh BĐT phụ sau: với z >0 thì 

\(z+\frac{1}{z}\ge2\Leftrightarrow\frac{z^2+1-2z}{z}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(z-1\right)^2}{z}\ge0\)