Lời giải:
BĐT cần chứng mình tương đương với:

$(xy+yz+xz)^2\geq 3(x+y+z)$

$\Leftrightarrow (xy+yz+xz)^2\geq 3xyz(x+y+z)$

$\Leftrightarrow (xy)^2+(yz)^2+(zx)^2+2xyz(x+y+z)\geq 3xyz(x+y+z)$

$\Leftrightarrow (xy)^2+(yz)^2+(xz)^2\geq xyz(x+y+z)$

$\Leftrightarrow (xy)^2+(yz)^2+(xz)^2-xyz(x+y+z)\geq 0$

$\Leftrightarrow 2(xy)^2+2(yz)^2+2(xz)^2-2xyz(x+y+z)\geq 0$

$\Leftrightarrow (xy-yz)^2+(yz-xz)^2+(xz-xy)^2\geq 0$

(luôn đúng với mọi $x,y,z\geq 0$)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$

tham khảo [Toán 12] Chứng minh bất đẳng thức: $x^3+y^3+z^3 \ge x+y+z$

lỗi link ấy =)) bạn vào thống kê hỏi đáp của mình để xem link nhé

thống kế hỏi đáp ở đâu vậy bạn

\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2\ge3\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\right)=\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{xyz}\Rightarrow x+y+z\ge\dfrac{3}{xyz}\)

\(x+y+z=\dfrac{x+y+z}{3}+\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{3}\ge\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+\dfrac{2}{3}.\dfrac{3}{xyz}\ge\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{9}{x+y+z}\right)+\dfrac{2}{xyz}=\dfrac{3}{x+y+z}+\dfrac{2}{xyz}\left(đpcm\right)\)

\(dấu"="xảy\) \(ra\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Với x ; y > 0 , cần c/m : \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)

Ta có : \(x^3+y^3-xy\left(x+y\right)=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2-xy\right)=\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0\)

( điều này luôn đúng với mọi x ; y > 0 )

=> BĐT được c/m

Áp dụng vào bài toán , ta có :

\(\frac{1}{x^3+y^3+xyz}+\frac{1}{y^3+z^3+xyz}+\frac{1}{x^3+z^3+xyz}\le\frac{1}{xy\left(x+y\right)+xyz}+\frac{1}{yz\left(y+z\right)+xyz}+\frac{1}{xz\left(x+z\right)+xyz}=\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{yz\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{xz\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{xyz\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{xyz}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z;x,y,z>0\)

giả sử cả 3 số xyz đều nhỏ hơn 1 

=>x+y+z<1+1+1=3

ta có x+y+z>\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\)=\(\dfrac{xy+yz+xz}{xyz}\)\(\ge\)\(\dfrac{3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}}{abc}\) =\(\dfrac{3}{\sqrt[3]{abc}}=\dfrac{3}{\sqrt[3]{1}}=3\) vậy x+y+z >3

từ đó sẽ có ít nhất 1 trong 3 số lớn hơn 1