Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Gọi AM và CN là các đường cao của tam giác. H là giao của 2 đường cao đó. Từ B,C kẻ các đường thẳng vuông góc với AB và AC hai đường thẳng này cắt nhau tại D. cm: tứ giác DBHC là hình bình hành
giúp mình với !
Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC. Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC. Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AB và từ C kẻ đường thẳng vuông góc với AC, hai đường thẳng này cắt nhau tại K.
a) Chứng minh BHCK là hình bình hành
b) Chứng minh H, M, K thẳng hàng
c) Chứng minh tam giác MEF là tam giác cân
Cho tam giác ABC, gọi D,E lần lượt là trung điểm của AB,AC a. Chứng minh tứ giác DECB là hình thang b. Gọi H là giao điểm của đường cao BM và CK.Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AB, qua C kẻ đường thẳng vuông góc AC. Hai đường thẳng này cắt nhau tại I. Chứng minh tứ giác BHCI là hình bình hành
a: Xét ΔABC có
D là trung điểm của AB
E là trung điểm của AC
Do đó: DE là đường trung bình của ΔABC
Suy ra: DE//BC
hay DECB là hình thang
Câu 4 :
1.Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC ) có hai đường cao BM và CN cắt nhau tại H . Đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng vuông góc với AB tại B ở D
a, CHứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành
b, Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AD . Qua điểm O kẻ đường thẳng vuông góc với AH cắt BC tại K . Chứng minh K là trung điểm của BC và tính độ dài đoạn thẳng OK biết AH=6cm
2.Cho tam giác ABC có các đường phân giác BD , CE cắt nhau tại I và BD.CE=2BI.CI . Tính số đo \(\widehat{BAC}\)
1.
Câu 1:
a) $CD\perp AC, BH\perp AC$ nên $CD\parallel BH$
Tương tự: $BD\parallel CH$
Tứ giác $BHCD$ có hai cặp cạnh đối song song nhau (BH-CD và BD-CH) nên là hình bình hành
b)
Áp dụng bổ đề sau: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng 1 nửa cạnh huyền.
Ta có:
$BO$ là trung tuyến của tgv $ABD$ nên $BO=\frac{AD}{2}$
$CO$ là trung tuyến của tgv $ACD$ nên $CO=\frac{AD}{2}$
$\Rightarrow BO=CO(1)$
$OK\parallel AH, AH\perp BC$ nên $OK\perp BC(2)$
Từ $(1);(2)$ ta dễ thấy $\triangle OBK=\triangle OCK$ (ch-cgv)
$\Rightarrow BK=CK$ hay $K$ là trung điểm $BC$
Mặt khác:
$HBDC$ là hình bình hành nên $HD$ cắt $BC$ tại trung điểm mỗi đường. Mà $K$ là trung điểm $BC$ nên $K$ là trung điểm $HD$
Xét tam giác $AHD$ có $O$ là t. điểm $AD$, $K$ là t. điểm $HD$ nên $OK$ là đường trung bình của tam giác $AHD$ ứng với cạnh $AH$.
$\Rightarrow OK=\frac{AH}{2}=3$ (cm)
Hai bài toán khác nhau thì bạn đặt bài toán 1 là câu 1, bài toán 2 là câu 2 cho dễ phân biệt.
Câu 2:
Gọi $AB=c; BC=a; CA=b$. Áp dụng tính chất đường phân giác thì:
$\frac{AD}{CD}=\frac{AB}{BC}=\frac{c}{a}$
$\Rightarrow \frac{b}{CD}=\frac{AC}{CD}=\frac{AD+CD}{CD}=\frac{c+a}{a}$
$\Rightarrow CD=\frac{ab}{a+c}$
Hoàn toàn tương tự:
$BE=\frac{ca}{a+b}$
Xét tam giác $CDB$ có phân giác $CI$. Áp dụng tính chất đường phân giác:
$\frac{ID}{BI}=\frac{CD}{BC}=\frac{ab}{a(a+c)}=\frac{b}{a+c}$
$\Rightarrow \frac{BD}{BI}=\frac{a+b+c}{a+c}$
Tương tự với tam giác $BEC$ phân giác $BI$ thì: $\frac{CE}{CI}=\frac{a+b+c}{a+b}$
Thay vô điều kiện $BD.CE=2BI.CI$ thì:
$\frac{BD}{BI}.\frac{CE}{CI}=2$
$\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^2}{(a+c)(a+b)}=2$
$\Leftrightarrow a^2=b^2+c^2$ nên theo Pitago đảo thì $ABC$ là tam giác vuông tại $A$
$\Rightarrow \widehat{BAC}=90^0$
Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Đường thẳng vuông góc với AB tại B và đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt nhau ở D
a) Tứ giác BHCD là hình gì? Vì sao?
b) Gọi O, M lần lượt là trung điểm của AD và BC. CM: 3 điểm H, M, D thẳng hàng và HA=2MO
c) Tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì để BHCD là hình thoi
Câu 17. Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC), đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Qua C, D kẻ các đường thẳng vuông góc với AC, AD cắt nhau tại K.
a) Tứ giác BHCK là hình gì?
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh H, M, K thẳng hàng.
c) Từ H kẻ HG vuông góc với BC (G thuộc BC).
Lấy I thuộc tia đối của tia GH. Chứng minh: BCKI là hình thang cân.
Sửa đề: Từ C,B kẻ các đường thẳng vuông góc với AC,AB cắt nhau tại K
a: CK vuông góc AC
BH vuông góc AC
Do đó: CK//BH
BK vuông góc AB
CH vuông góc AB
Do đó: BK//CH
Xét tứ giác BHCK có
BH//CK
BK//CH
Do đó: BHCK là hình bình hành
b: BHCK là hình bình hành
=>BC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường
mà M là trung điểm của BC
nên M là trung điểm của HK
=>H,M,K thẳng hàng
Cho tam giác abc gọi d,e lần lượt là trung điểm của ab,ac a. Chứng minh tứ giác DECB là hình thang b. Gọi H là giao điểm của đường cao BM và CK.Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AB, qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AC. Hai đường thẳng này cắt nhau tại I . Chứng minh tứ giác BHCI là hình bình hành
a: Xét ΔABC có
D là trung điểm của AB
E là trung điểm của AC
Do đó: DE là đường trung bình của ΔABC
Suy ra: DE//BC
hay DECB là hình thang
cho tam giác ABC đường cao BK và CI cắt nhau tại H. Các đường thẳng kẻ từ B vuông góc với AB và kẻ từ C vuông góc với AC cắt nhau tại D :
a) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành
b) chứng minh AI.AB=AK.AC
c)cm tam giác AIK và ACB đồng dạng
d)tam giác ABC cần điều kiện j để đường thẳng DH đi qua A? Khi đó tứ giắc BHCD là hình j
a: Xét tứ giác BHCD có
BH//CD
BD//CH
=>BHCD là hình bình hành
b: Xét ΔAKB vuông tại K và ΔAIC vuông tại I có
góc KAB chung
=>ΔAKB đồng dạng với ΔAIC
=>AK/AI=AB/AC
=>AK*AC=AB*AI; AK/AB=AI/AC
c: Xét ΔAKI và ΔABC có
AK/AB=AI/AC
góc KAI chung
=>ΔAKI đồng dạng với ΔABC
. Cho tam giác ABC nhọn(AB < AC) các đường cao BE và CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh AH vuông góc với BC b) Từ B kẻ đường thẳng song song với CF, từ C kẻ đường thẳng song song với BE hai đường thẳng này cắt nhau tại K. Gọi M là trung điểm của Bc. Chứng Minh H, M, K thẳng hàng c) Gọi O là trung điểm của AK. Chứng minh OM vuông góc với BC
a) Xét ΔABC có
BE là đường cao ứng với cạnh AC(gt)
CF là đường cao ứng với cạnh AB(gt)
BE cắt CF tại H(gt)
Do đó: H là trực tâm của ΔABC(Tính chất ba đường cao của tam giác)
Suy ra: AH⊥BC
b) Xét tứ giác BHCK có
HC//BK(gt)
BH//CK(gt)
Do đó: BHCK là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Suy ra: Hai đường chéo HK và BC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(Định lí hình bình hành)
mà M là trung điểm của BC(gt)
nên M là trung điểm của HK
hay H,M,K thẳng hàng(đpcm)
Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H.Vẽ đường thẳng vuông góc với AB tại B, vẽ đường thẳng vuông góc với AC tại C , hai đường thẳng này cắt nhau tại D
a) C/m : AH vuông góc với BC và tứ giác BHCD là hình bình hành
b) Gọi M là trung điểm BC. C/m : 3 điểm H, M, D thẳng hành và tam giác EMF cân
c) Gọi K là điểm đối xứng của H qua BC .C/m BD=CK
d) Dường thẳng vuông góc tại M cắt AD tại L. C/m AH = 2ML
a) Xét ΔABC có
BE là đường cao ứng với cạnh AC
CF là đường cao ứng với cạnh AB
BE cắt CF tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
Suy ra: AH\(\perp\)BC
Xét tứ giác BHCD có
BH//CD
HC//BD
Do đó: BHCD là hình bình hành
b) Ta có: BHCD là hình bình hành(cmt)
nên Hai đường chéo BC và HD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
mà M là trung điểm của BC
nên M là trung điểm của HD
Ta có: ΔFBC vuông tại F(gt)
mà FM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(gt)
nên \(FM=\dfrac{BC}{2}\)(1)
Ta có: ΔEBC vuông tại E(gt)
mà EM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(gt)
nên \(EM=\dfrac{BC}{2}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra MF=ME
hay ΔEMF cân tại M(đpcm)