a⁵-a = a . ( a⁴ -1 ) = a(a-1)(a+1)(a²+1)

a(a-1) là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2

(a-1)a(a+1) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3

mà (2,3)=1 ⇒ a(a-1)(a+1)(a²+1) ⋮ (2.3) = 6

*Nếu a = 5q (q ∈ N) =>a(a-1)(a+1)(a²+1) ⋮ 5

Nếu a = 5q + 1 => a - 1 = 5q

Nếu a = 5q + 2 => a² + 1= (5q+2)²+1=25q² +5

Nếu a = 5q+3 => a² + 1= (5q+3)²+1=25q² +10

Nếu a = 5q+4 => a +1 = 5q +5

Vậy a⁵ -5 chia hết cho30 với a thuộc Z

Mấy bạn làm hộ mình nha , bài khó quá không biết làm thế nào nữa.Xin trân thành cảm ơn nếu các bạn làm chi tiết.

bài này làm thế nào 

hiền k hộ ta

a⁵ - n = a(a⁴ - 1 )= a(a - 1)(a + 1)(a² +1) 
Xét a(a-1)là 2 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2

(n+1)n(n-1) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3 
Mà (2;3) = 1 => chia hết cho 6 
Lại xét :
a = 5k => tích trên chia hết cho 5 
a = 5k+1 => a - 1 = 5k chia hết cho 5 
a = 5k+2 => a² + 1 = (5k + 2)² + 1 = 25k² + 5 chia hết cho 5 
a = 5k+3 => a² + 1 = (5k + 3)² + 1 = 25k² + 10 chia hết cho 5 
a = 5k+4 => a + 1 = 5k + 5 chia hết cho 5 
Mà (6; 5) = 1.

Vậy a⁵ - a chia hết cho 30 với mọi a \(\in\) Z

ê con uyên lợn

so do la a=2 n=5

a=2
n=5

a=2

n=5

L_I-K_E and L_I-K_E

Ta thấy : \(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right).\)

\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4+5\right)\)

\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4\right)+5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)

\(=\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)

Ta có :\(\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\)là tích 5 số tự nhiên liên tiếp :

\(\Rightarrow\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\)\(⋮\)\(5\)và cũng \(⋮\)\(6\)( cũng là 3 số tự nhiên liên tiếp )

\(\Rightarrow\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\)\(⋮\)\(30\)\(\left(1\right)\)

Ta lại có : \(5\)\(⋮\)\(5\)và \(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\)\(⋮\)\(6\)

\(\Rightarrow5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)\(⋮\)\(30\)\(\left(2\right)\)

Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)\(⋮\)\(30\)

Hay \(a^5-a\)\(⋮\)\(30\)

Tương tự \(b^5-b\)và \(c^5-c\)cũng chia hết cho 30 

\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5-\left(a+b+c\right)\)\(⋮\)\(30\)

Mà \(a+b+c\)\(⋮\)\(30\)

\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5\)\(⋮\)\(30\)\(\left(đpcm\right)\)

Ta có:\(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\)

\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4+5\right)\)

\(=\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\)

Vì (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3 và một số chia hết cho 5. Mà 3 số này đôi một nguyên tố cùng nhau nên (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) chia hết cho 2.3.5=30 (*)

Vì (a-1)a(a+1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3. Mà (2;3)=1 nên 5(a-1)a(a+1) chia hết cho 2.3.5=30 (**)

Từ (*)và(**) => \(a^5-5\) chia hết cho 30(đpcm)