Question

Cho a thuộc z , chứng minh rằng a^5 - a chia hết cho 30

Answer 1

Ta có:\(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\)

\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4+5\right)\)

\(=\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\)

Vì (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3 và một số chia hết cho 5. Mà 3 số này đôi một nguyên tố cùng nhau nên (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) chia hết cho 2.3.5=30 (*)

Vì (a-1)a(a+1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3. Mà (2;3)=1 nên 5(a-1)a(a+1) chia hết cho 2.3.5=30 (**)

Từ (*)và(**) => \(a^5-5\) chia hết cho 30(đpcm)