n=2. Có 2 cặp góc đối đỉnh nhỏ hơn góc bẹt.

n=3. Có 2 cặp cũ không liên quan đến đường thẳng thứ 3 mới và đường mới tạo với 2 đường cũ 2x2 cặp góc đối đỉnh.

n=4. Có 2+4 cặp cũ không liên quan đến đường thẳng thứ 4 mới và đường mới tạo với 3 đường cũ 2x3 cặp góc đối đỉnh.

n=5. Có 2+4+6 cặp cũ không liên quan đến đường thẳng thứ 5 mới và đường mới tạo với 4 đường cũ 2x4 cặp góc đối đỉnh.

...

n=n. Có 2+4+6+...+2*(n-2) cặp cũ không liên quan đến đường thẳng thứ n mới và đường mới tạo với (n-1) đường cũ 2x(n-1) cặp góc đối đỉnh.

Nên tổng cộng có: 2+4+6+...+2*(n-2)+2*(n-1) = 2*(1+2+3+...+(n-1))=2*1/2*(n-1)*n=n*(n-1) cặp góc đối đỉnh.

a.

\(\Leftrightarrow na_{n+2}-na_{n+1}=2\left(n+1\right)a_{n+1}-2\left(n+1\right)a_n\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a_{n+2}-a_{n+1}}{n+1}=2.\dfrac{a_{n+1}-a_n}{n}\)

Đặt \(b_n=\dfrac{a_{n+1}-a_n}{n}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b_1=\dfrac{a_2-a_1}{1}=1\\b_{n+1}=2b_n\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow b_n=2^{n-1}\Rightarrow a_{n+1}-a_n=n.2^{n-1}\)

\(\Leftrightarrow a_{n+1}-\left[\dfrac{1}{2}\left(n+1\right)-1\right]2^{n+1}=a_n-\left[\dfrac{1}{2}n-1\right]2^n\)

Đặt \(c_n=a_n-\left[\dfrac{1}{2}n-1\right]2^n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c_1=a_1-\left[\dfrac{1}{2}-1\right]2^1=2\\c_{n+1}=c_n=...=c_1=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a_n=\left[\dfrac{1}{2}n-1\right]2^n+2=\left(n-2\right)2^{n-1}+2\)

b.

Câu b này đề sai

Với \(n=1\Rightarrow\sqrt{a_1-1}=0< \dfrac{1\left(1+1\right)}{2}\)

Với \(n=2\Rightarrow\sqrt{a_1-1}+\sqrt{a_2-1}=0+1< \dfrac{2\left(2+1\right)}{2}\)

Có lẽ đề đúng phải là: \(\sqrt{a_1-1}+\sqrt{a_2-1}+...+\sqrt{a_n-1}\ge\dfrac{n\left(n-1\right)}{2}\)

Ta sẽ chứng minh: \(\sqrt{a_n-1}\ge n-1\) ; \(\forall n\in Z^+\)

Hay: \(\sqrt{\left(n-2\right)2^{n-1}+1}\ge n-1\)

\(\Leftrightarrow\left(n-2\right)2^{n-1}+2n\ge n^2\)

- Với \(n=1\Rightarrow-1+2\ge1^2\) (đúng)

- Với \(n=2\Rightarrow0+4\ge2^2\) (đúng)

- Giả sử BĐT đúng với \(n=k\ge2\) hay \(\left(k-2\right)2^{k-1}+2k\ge k^2\)

Ta cần chứng minh: \(\left(k-1\right)2^k+2\left(k+1\right)\ge\left(k+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(k-1\right)2^k+1\ge k^2\)

Thật vậy: \(\left(k-1\right)2^k+1=2\left(k-2\right)2^{k-1}+2^k+1\ge2k^2-4k+2^k+1\)

\(\ge2k^2-4k+5=k^2+\left(k-2\right)^2+1>k^2\) (đpcm)

Do đó:

\(\sqrt{a_1-1}+\sqrt{a_2-1}+...+\sqrt{a_n-1}>0+1+...+n-1=\dfrac{n\left(n-1\right)}{2}\)

c.

Ta có:

\(\dfrac{a_n}{3^n}=\dfrac{\left(n-2\right)2^{n-1}+2}{3^n}=\dfrac{n}{2\left(\dfrac{3}{2}\right)^n}-\left(\dfrac{2}{3}\right)^n+\dfrac{2}{3^n}\)

Đặt \(S_n=\sum\limits^n_{i=1}\dfrac{a_n}{3^n}=\dfrac{1}{2}\sum\limits^n_{i=1}\dfrac{n}{\left(\dfrac{3}{2}\right)^n}-\sum\limits^n_{j=1}\left(\dfrac{2}{3}\right)^n+2\sum\limits^n_{k=1}\dfrac{1}{3^n}=\dfrac{1}{2}S'-2+2\left(\dfrac{2}{3}\right)^n+1-\dfrac{1}{3^n}\)

Xét \(S'=\sum\limits^n_{i=1}\dfrac{n}{\left(\dfrac{3}{2}\right)^n}\)

\(S'=\sum\limits^n_{i=1}\dfrac{n}{\left(\dfrac{3}{2}\right)^n}=\dfrac{1}{\dfrac{3}{2}}+\dfrac{2}{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2}+\dfrac{3}{\left(\dfrac{3}{2}\right)^3}+...+\dfrac{n}{\left(\dfrac{3}{2}\right)^n}\)

\(\dfrac{3}{2}S'=1+\dfrac{2}{\dfrac{3}{2}}+\dfrac{3}{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2}+...+\dfrac{n}{\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}S'=1+\dfrac{1}{\left(\dfrac{3}{2}\right)}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2}+...+\dfrac{1}{\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}}-\dfrac{n}{\left(\dfrac{3}{2}\right)^n}=\dfrac{1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^n}{1-\dfrac{2}{3}}=3-3\left(\dfrac{2}{3}\right)^n-n\left(\dfrac{2}{3}\right)^n\)

\(\Rightarrow S_n=2-\left(\dfrac{2}{3}\right)^n-\dfrac{1}{3^n}-n\left(\dfrac{2}{3}\right)^n\)

\(\Rightarrow\lim\left(S_n\right)=2\)

\(\frac{n\left(n-1\right)}{2}\)

có thể cho mik bk (n-1) là chỉ cái j ko?

\(\frac{n\left(n-1\right)}{2}\)

hình như toàn chép bài nhau thì phải

Gọi n là số cạnh của đa giác. 
Ta có : 

- Số đường chéo của đa giác là : n(n−3)2 

Cái này dễ chứng minh thôi bn! 

Từ mỗi đỉnh của hình n giác lồi ta vẽ được n - 1 đoạn thẳng nối đỉnh đó với n - 1 đỉnh còn lại, trong đó có 2 đoạn thẳng trùng với 2 cạnh của đa giác. Vậy qua mỗi đỉnh của hình n giác lồi vẽ được n - 3 đường chéo, hình n giác có n đỉnh nên vẽ được n(n - 3) đường chéo, trong đó mỗi đường chéo được tính 2 lần nên thực chất chỉ có n(n−3)2 đường chéo. 

- Tổng số đo các góc trong đa giác : 180o.(n−2) 

Còn số cạnh của đa giác thì tự đếm ra, nếu đề bài cho 1 số gt bắt tìm số cạnh thì dựa vào công thức tính đường chéo hay công thức tính số đo 1 góc đa giác đều (180o.(n−2)n.

Số đường chéo xuất phát từ mỗi đỉnh của đa giác n cạnh là n - 3.

__________________

muốn tính cặp góc đối đỉnh thì ta có 2 góc ấy có tổng = 180⁰

cho ví dụ

Chỉ có công thức tính số cặp góc đối đỉnh thôi bn ak !

tính số góc trước nha

Với n đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm,ta được 2n tia chung gốc.

Chọn 1 tia trong 2n tia chung gốc đã cho tạo với 2n -1 tia còn lại, ta được 2n-1 (góc)

Làm như vậy với 2n tia chung gốc,ta được : 2n. (2n-1) (góc)

Nhưng vì mỗi góc đã được tính 2 lần nên số góc thực có là:

\(\frac{2n\left(2n-1\right)}{2}=n\left(2n-1\right)\)(góc)

Trong đó có n đường thẳng nên sẽ có n góc bẹt

⇒ Số góc khác góc bẹt là : n. (2n-1) -n (góc)

Mỗi góc trong số n.( 2n-1) -n đều có một góc đối đỉnh với nó

⇒ Số cặp góc đối đỉnh là : \(\frac{n\left(2n-1\right)-n}{2}\) (cặp góc)

Công thức tổng quát\(\frac{n\left(2n-1\right)-n}{2}\)(n là số đường thẳng đi qua điểm O)

Công thức để tính: lấy số đường thẳng nhân với số đường thẳng trừ 1

3 đường thẳng cắt nhau tạo thành 3 cặp góc đối đỉnh

4 đường thẳng cắt nhau tạo thành 4 cặp góc đối đỉnh