\(\left(2n+1\right)\left(n^2-3n-1\right)-2n^3+1\)

\(=2n^3-6n^2-2n+n^2-3n-1-2n^3+1\)

\(=-5n^2-5n=-5n\left(n+1\right)\)

Vì n và n+1 là 2 số nguyên liên tiếp nên n(n+1) chia hết cho 2 \(=>-5n\left(n+1\right)⋮10\)

Vậy (2n+1)(n^2-3n-1)-2n^3+1 chia hết cho 10 với mọi n đều thuộc Z

\(A=\left(n^2+3n+2\right)\left(2n-1\right)-2\left(n^3-2n-1\right)\)

\(A=2n^3+6n^2+4n-n^2-3n-2-2n^3+4n+2\)

\(A=5n^2+5n\)

\(A=5n\left(n+1\right)\)

\(\text{Vì 5⋮5 nên 5n(n+1)⋮5}\)(1)

\(\text{Vì n;n+1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên n(n+1)⋮2}\)

\(\Rightarrow5n\left(n+1\right)⋮2\)(2)

\(\text{Từ (1) và (2)}\Rightarrow5n\left(n+1\right)⋮10\text{ vì (2,5)=1}\)

\(\text{Vậy A⋮10}\)

Ta có:

\(2n^3+3n^2+n=n\left(2n^2+3n+1\right)=n\left(2n^2+2n+n+1\right)=n\left[2n\left(n+1\right)+\left(n+1\right)\right]\)

\(=n\left(n+1\right)\left(2n-2+3\right)=n\left(n+1\right)\left(2n-2\right)+3n\left(n+1\right)=2\left(n-1\right)n\left(n+1\right)+3n\left(n+1\right)\)

Ta thấy:

\(n-1;n;n+1\) là 3 số nguyên liên tiếp (\(n\in Z\)) => tích của chúng chia hết cho 2 và 3. \(\Rightarrow2\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮2.3=6\)

Và \(3n\left(n+1\right)⋮6\Rightarrow2n^3+3n^2+n⋮6\)

Chứng minh với mọi số nguyên dương n thì

3^n + 2 – 2^n + 2 + 3^n – 2^n chia hết cho 10

                                      Giải

3^n + 2 – 2^n + 2 + 3^n – 2^n

= 3^n+2 + 3^n – 2^n + 2 -  2^n

= 3^n+2 + 3^n – ( 2^n + 2 + 2^n )

= 3^n . 3^2 + 3^n – ( 2^n . 2^2 + 2^n )

= 3^n . ( 3^2 + 1 ) – 2^n . ( 2^2 + 1 )

= 3^n . 10 – 2^n . 5

= 3^n.10 – 2^n -1.10

= 10.( 3^n – 2^n-1)

Vậy 3^n+2 – 2^n +2 + 3^n – 2^n chia hết cho 10

Hay thees

theo mình nhớ thì đề bài có lũy thừa hay sao ý

3ⁿ⁺²-2ⁿ⁺² +3ⁿ-2ⁿ

^₌₍3ⁿ⁺²+3ⁿ)+(-2ⁿ⁺² -2ⁿ)

=3ⁿ.(3²+1)-2ⁿ.(2²+1)

=3ⁿ.10-2ⁿ.5

=3ⁿ.10-2^n-1.10

=10.(3ⁿ-2^n-1)chia hết cho 10

Vậy 3ⁿ⁺²-2ⁿ⁺² +3ⁿ-2ⁿ chia hết cho 10

Đề phải là: chứng minh 3ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²+3ⁿ-2ⁿ chia hết cho 10

Trả lời

\(3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n\)

\(=\left(3^{n+2}+3^n\right)+\left(-2^{n+2}-2^n\right)\)

\(=3^n\left(3^2+1\right)-2^n\left(2^2+1\right)\)

\(=3^n\cdot\left(9+1\right)-2^n\cdot\left(4+1\right)\)

\(=3^n\cdot10-2^n\cdot5\)

\(=3^n\cdot10-2^{n-1}\cdot10\)

\(=10\cdot\left(3^n-2^{n-1}\right)⋮10\)

\(\Rightarrow3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n⋮10\)

Vậy...