Tôi đã biết làm !

S = \(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...\frac{1}{2^{2012}}+\frac{1}{2^{2013}}\)

2S = \(1+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+...\frac{1}{2^{2011}}+\frac{1}{2^{2012}}\)

S = 2S - S = \(\left(1+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+...\frac{1}{2^{2011}}+\frac{1}{2^{2012}}\right)\) - \(\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...\frac{1}{2^{2012}}+\frac{1}{2^{2013}}\right)\)

S = 1 - \(\frac{1}{2013}\)

Vì 1 trừ cho số nào lớn hơn 0 thì hiệu đó cũng bé hơn 1

=> S < 1 (đpcm)

S=\(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{2013}}\)

2S=\(1+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{2012}}\)

S=2S-S=(\(1+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{2012}}\))-(\(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{2013}}\))

S=1-\(\frac{1}{2013}\)

Vì 1 trừ cho số nào lớn hơn 0 thì hiệu đó cũng bé hơn 1

=>S<1

\(S=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{2012^2}\)

\(< 1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{2011.2012}\)

\(=1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2012}\)

\(=2-\frac{1}{2012}< 2\)

mà \(S>1\)

do đó ta có đpcm. 

Giả sử có tấm bìa diện tích 1.

Ta cắt ra 1/2 tấm bìa, lấy đi 1 phần, rồi lại cắt ra 1/2 tấm còn lại (tức là 1/4), rồi lấy đi một phần...

Cứ làm như vậy 2013 lần thì ta đã lấy đi một diện tích \(S\), nhưng vẫn còn một góc bìa chưa bị lấy đi.

Vậy \(S< 1\)

S = 5¹ + 5² + 5³ + 5⁴ +....+ 5²⁰¹²

=> S = (5¹ + 5²) + (5³ + 5⁴) +....+ (5²⁰¹¹ + 5²⁰¹²)

=> S = 1(5¹ + 5²) + 5²(5 + 5²) +....+ 5²⁰¹⁰(5 + 5²)

=> S = 30.(1 + 5² + .....+ 5²⁰¹⁰) chia hết cho 30

=> S chia hết cho 30

=> S là bội của 30 (Đpcm)

Ta có :

S = 5^1 + 5^2 + 5^3 + 5^4 +...+ 5^2012

S = ( 5^1 + 5^2 ) + ( 5^3 + 5^4) +....+ (5^2011 + 5^2012)

S = 30 + 5^2.(5 + 5^2 ) +...+5^2010.(5 + 5^2)

S = 30 + 5^2 .30 + ...+ 5^2010 . 30

S = 30. (1 + 5^2 + ..+ 5^2010)

Vì  30 chia hết cho 30 nên S chia hết cho 30 

Vậy S là B(30)

Đọc kĩ đề 1 tí là làm dc ngay:

\(A=\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{2012^2}\)

\(A< \dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{2011.2012}\)

\(A< \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{2011}-\dfrac{1}{2012}\)

\(A< \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2012}< 1\)

Vậy \(A< 1\)

A = \(\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{2012^2}\)
Ta có :
\(\dfrac{1}{3^2}< \dfrac{1}{2.3}\)
\(\dfrac{1}{4^2}< \dfrac{1}{3.4}\)
...
\(\dfrac{1}{2012^2}< \dfrac{1}{2011.2012}\)
=> A = \(\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{2012^2}\)< \(\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{2011.2012}\) (1)
Biến đổi vế trái :
\(\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{2011.2012}\)
= \(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{2011}-\dfrac{1}{2012}\)
= \(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2012}\)
= \(\dfrac{1005}{2012}\)< 1 (2)
Từ (1) và (2), suy ra:
A < 1