hello

a, \(\sqrt{2x^2-2x+m}=x+1\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x^2-2x+m=x^2+2x+1\\x+1\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-4x+m-1=0\left(1\right)\\x\ge-1\end{matrix}\right.\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi phương trình \(\left(1\right)\) có nghiệm \(x\ge-1\) chỉ có thể xảy ra các trường hợp sau

TH1: \(x_1\ge x_2\ge-1\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'\ge0\\\dfrac{x_1+x_2}{2}\ge-1\\1.f\left(-1\right)\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5-m\ge0\\2\ge-1\\m+4\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow-4\le m\le5\)

TH2: \(x_1\ge-1>x_2\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5-m\ge0\\m+4< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) vô nghiệm

Vậy \(-4\le m\le5\)

Với \(x=0\) ko phải nghiệm

Với \(x\ne0\) chia 2 vế cho \(x^2\) ta được:

\(x^2+\dfrac{1}{x^2}+3x+\dfrac{3}{x}+m=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+3\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+m-2=0\) (1)

Đặt \(x+\dfrac{1}{x}=t\Rightarrow x^2-tx+1=0\) (2)

(2) có 2 nghiệm pb khi và chỉ khi:

\(\Delta=t^2-4>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t>2\\t< -2\end{matrix}\right.\)

Khi đó (1) trở thành:

\(t^2+3t+m-2=0\) (3)

Pt đã cho có 4 nghiệm pb khi và chỉ khi (3) có 2 nghiệm pb thỏa mãn \(\left[{}\begin{matrix}t>2\\t< -2\end{matrix}\right.\)

(3) \(\Leftrightarrow t^2+3t-2=-m\)

Đặt \(f\left(t\right)=t^2+3t-2\)

\(f\left(-2\right)=-4\) ; \(f\left(2\right)=8\)

Đồ thị hàm \(f\left(t\right)\):

Từ đồ thị ta thấy \(y=-m\) cắt \(y=f\left(t\right)\) tại 2 điểm đều nằm ngoài \(\left[-2;2\right]\) khi và chỉ khi:

\(\left[{}\begin{matrix}-\dfrac{17}{4}< -m< -4\\-m>8\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}4< m< \dfrac{17}{4}\\m< -8\end{matrix}\right.\)

Ta có \(2x^2-\left(3m+1\right)x+m^2+m=0\) (a) 

\(\Leftrightarrow\) \(x=m:=x_1\) hoặc \(x=\frac{m+1}{2}:=x_2\)

Bởi vậy \(\begin{cases}2x^2-\left(3m+1\right)x+m^2+m=0\\x^2-mx-3m-1\ge0\end{cases}\)  (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi hai nghiệm \(x_1\) , \(x_2\) đó

khác nhau và cùng thỏa mãn ( b) , hay là :

\(\begin{cases}\begin{cases}m\ne\frac{m+1}{2}\\m^2-m^2-3m-1\ge0\end{cases}\\\left(\frac{m+1}{2}\right)^2-m\frac{m+1}{2}-3m-1\ge0\\\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}m\ne1\\m\le-\frac{1}{3}\\m^2+12m+3\le0\end{cases}\)

\(\left(\Rightarrow m\ne1\right)\)

\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}m\le-\frac{1}{3}\\-6-\sqrt{33}\le m\le-6+\sqrt{33}\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow-6-\sqrt{33}\le m\le-\frac{1}{3}\)

Vậy  \(-6-\sqrt{33}\le m\le-\frac{1}{3}\) là các giá trị cần tìm

a: \(\text{Δ}=\left(2m+1\right)^2-4m\left(m+3\right)\)

\(=4m^2+4m+1-4m^2-12m\)

\(=-8m+1\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0

\(\Leftrightarrow-8m+1>0\)

\(\Leftrightarrow-8m>-1\)

hay \(m< \dfrac{1}{8}\)

ĐKXĐ: \(x\ge0\)

\(\left(x^2-x-m\right)\sqrt{x}=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x^2-x-m=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Giả sử (1) có nghiệm thì theo Viet ta có \(x_1+x_2=1>0\Rightarrow\left(1\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm dương nếu có nghiệm

Do đó:

a. Để pt có 1 nghiệm \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) vô nghiệm 

\(\Leftrightarrow\Delta=1+4m< 0\Leftrightarrow m< -\dfrac{1}{4}\)

b. Để pt có 2 nghiệm pb 

TH1: (1) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm bằng 0

\(\Leftrightarrow m=0\)

TH2: (1) có 2 nghiệm trái dấu

\(\Leftrightarrow x_1x_2=-m< 0\Leftrightarrow m>0\)

\(\Rightarrow m\ge0\)

c. Để pt có 3 nghiệm pb \(\Leftrightarrow\) (1) có 2 nghiệm dương pb

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=1+4m>0\\x_1x_2=-m>0\\\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{4}< m< 0\)