a) Đặt A = u² + v² - 2u + 3v + 15

= (u² - 2u + 1) + (v² + 3v + 9/4) + 47/4

= (u - 1)² + (v + 3/2)² + 47/4 \(\ge\frac{47}{4}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}u-1=0\\v+\frac{3}{2}=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}u=1\\v=-\frac{3}{2}\end{cases}}\)

Vậy Min A = 47/4 <=> u = 1 ; y = -3/2

a, \(P=2x^2+5y^2+4xy+8x-4y+15\)

\(=\left(x+2y\right)^2+\left(x+4\right)^2+\left(y-2\right)^2-5\)\(\ge-5\)

Dấu "="xảy ra khi:\(\hept{\begin{cases}\left(x+2y\right)^2=0\\\left(x+4\right)^2=0\\\left(y-2\right)^2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-4\\y=2\end{cases}}\)

Vậy...

b, \(C=2x^2+4xy+4y^2-3x-1\)

\(=\left(x+2y\right)^2+\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{5}{4}\ge-\frac{5}{4}\)

sau đó giải tương tự câu a nhé

\(P=2x^2+5y^2+4xy+8x-4y+15\)

\(=\left(x^2+4xy+4y^2\right)+\left(x^2+8x+16\right)+\left(y^2-4y+4\right)-5\)

\(=\left(x+2y\right)^2+\left(x+4\right)^2+\left(y-2\right)^2-5\)

Ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+2y\right)^2\ge0\\\left(x+4\right)^2\ge0\\\left(y-2\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow P\ge-5\)

Dấu "=" xảy ra khi :

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+2y\right)^2=0\\\left(x+4\right)^2=0\\\left(y-2\right)^2=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-4\\y=2\end{matrix}\right.\)

Vậy \(P_{Min}=-5\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=-4\\y=2\end{matrix}\right.\)

\(A=x^2+5y^2-4xy-2x-4y+5=x^2-2x\left(2y+1\right)+\left(2y+1\right)^2+\left(y^2-8y+16\right)-12=\left(x-2y-1\right)^2+\left(y-4\right)^2-12\ge-12\)

\(minA=-12\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}x=9\\y=4\end{matrix}\right.\)

Đặt: \(S=2x^2+5y^2+4xy+8x-4y-100\)

\(=\left(x^2+4xy+4y^2\right)+\left(x^2+8x+16\right)+\left(y^2-4y+4\right)-120\)

\(=\left(x+2y\right)^2+\left(x+4\right)^2+\left(y-2\right)^2-120\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+2y\right)^2\ge0\\\left(x+4\right)^2\ge0\\\left(y-2\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\)

=> \(\left(x+2y\right)+\left(x+4\right)^2+\left(y-2\right)^2\ge0\)

=> \(\left(x+2y\right)^2+\left(x+4\right)^2+\left(y-2\right)^2-120\ge-120\)

Dấu ''='' xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=0\\x+4=0\\y-2=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-4\\y=2\end{matrix}\right.\)

Vậy Min_S = -120 ⇔\(\left\{{}\begin{matrix}x=-4\\y=2\end{matrix}\right.\)

Bạn xem lại đề câu d nhé.

D=x^2+5y^2-4xy-6x+8y+12

Bạn cũng cần xem lại đề câu c nhé.

a) \(A=9x^2-6x+3\)

\(A=\left(3x\right)^2-2.3x+1+2\)

\(A=\left(3x-1\right)^2+2\)

Vì \(\left(3x-1\right)^2\ge0\) với mọi x

\(\Rightarrow\left(3x-1\right)^2+2\ge2\) với mọi x

\(\Rightarrow Amin=2\Leftrightarrow3x-1=0\)

\(\Rightarrow3x=1\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{1}{3}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 2 khi x = 1/3

b) \(B=x^2-3x\)

\(B=x^2-2.x.\dfrac{3}{2}+\dfrac{9}{4}-\dfrac{9}{4}\)

\(B=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4}\)

Vì \(\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2\ge0\) với mọi x

\(\Rightarrow\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4}\ge-\dfrac{9}{4}\) với mọi x

\(\Rightarrow Bmin=-\dfrac{9}{4}\Leftrightarrow x-\dfrac{3}{2}=0\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{3}{2}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là -9/4 khi x = 3/2

c) \(C=x^2+8x+10\)

\(C=x^2+2.x.4+16-6\)

\(C=\left(x+4\right)^2-6\)

Vì \(\left(x+4\right)^2\ge0\) với mọi x

\(\Rightarrow\left(x+4\right)^2-6\ge-6\) với mọi x

\(\Rightarrow Cmin=-6\Leftrightarrow x+4=0\)

\(\Rightarrow x=-4\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là -6 khi x = -4

d) \(D=x^2-2x+15+y^2+3y\)

\(D=x^2-2x+1+y^2+2.y.\dfrac{3}{2}+\dfrac{9}{4}-\dfrac{9}{4}+14\)

\(D=\left(x-1\right)^2+\left(y+\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{47}{4}\)

Vì \(\left(x-1\right)^2\ge0\) với mọi x

\(\left(y+\dfrac{3}{2}\right)^2\ge0\) với mọi y

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y+\dfrac{3}{2}\right)^2\ge0\) với mọi x,y

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y+\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{47}{4}\ge\dfrac{47}{4}\) với mọi x,y

\(\Rightarrow Dmin=\dfrac{47}{4}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\y+\dfrac{3}{2}=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy giá trị của biểu thức là 47/4 khi x = 1 và y = -3/2

e) \(E=2x^2+4xy+8x+5y^2-4y-100\)

\(E=\left(x^2+4xy+4y^2\right)+\left(x^2+8x+16\right)+\left(y^2-4y+4\right)-120\)

\(E=\left(x+2y\right)^2+\left(x+4\right)^2+\left(y-2\right)^2-120\)

Vì \(\left(x+2y\right)^2\ge0\) với mọi x,y

\(\left(x+4\right)^2\ge0\) với mọi x

\(\left(y-2\right)^2\ge0\) với mọi y

\(\Rightarrow\left(x+2y\right)^2+\left(x+4\right)^2+\left(y-2\right)^2\ge0\) với mọi x,y

\(\Rightarrow\left(x+2y\right)^2+\left(x+4\right)^2+\left(y-2\right)^2-120\ge-120\) với mọi x,y

\(\Rightarrow Emin=-120\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+2y=0\\x+4=0\\y-2=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-4\\y=2\end{matrix}\right.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là -120 khi x = -4 ; y = 2

f) \(F=x^2-6xy+26+10y^2-10y\)

\(F=x^2-6xy+9y^2+y^2-10y+25+1\)

\(F=\left(x^2-6xy+9y^2\right)+\left(y^2-10y+25\right)+1\)

\(F=\left(x-3y\right)^2+\left(y-5\right)^2+1\)

Vì \(\left(x-3y\right)^2\ge0\) với mọi x,y

\(\left(y-5\right)^2\ge0\) với mọi y

\(\Rightarrow\left(x-3y\right)^2+\left(y-5\right)^2\ge0\) với mọi x,y

\(\Rightarrow\left(x-3y\right)^2+\left(y-5\right)^2+1\ge1\) với mọi x,y

\(\Rightarrow Fmin=1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-3y=0\\y-5=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3y\Rightarrow x=15\\y=5\end{matrix}\right.\)

Vậy giá trị của biểu thức là 1 khi x = 15 và y = 5