MN là đường trung bình của tam giác AOB

\(\Rightarrow MN\)//AB

AM=NB=\(\frac{1}{2}OA\)=\(\frac{1}{2}OB\)

\(\Rightarrow AMNB\)là hình thang cân

MN//AB\(\Rightarrow MN\)//OB      (1)                          

MN=\(\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}DC=DP\)        (2)

từ (1),(2) suy raMNPD là hình bình hành

Xét tap giác DMB

MO vừa là đường tuy tuyến vừa là đường cao

suy ra  DMB là tam giác cân

suy ra MBD=MDB   (1)

tam giác OAN=tam giác OBM(tự chứng minh)

suy ra MBO=OAN(2)

từ 1 và 2 suy ra

OAN=MDB

mà DNP=MDB(SLT)

su ra DNP=OAN

xét tam giác OAN

OAN+ONA=90 độ

suy ra DNP + ONA=90 độ

suy ra NP vuông góc AN

mà DM//NP

suy ra DM vuông góc AN

Gọi M là trung điểm BC ; N là điểm đối xứng với H qua M.

M là trung điểm của BC và HN nên BNCH là hình bình hành

\(\Rightarrow NC//BH\)

Mà \(BH\perp AC\Rightarrow NC\perp AC\)hay AN là đường kính của đường tròn ( O ) 

Dễ thấy OM là đường trung bình \(\Delta AHN\) suy ra \(OM=\frac{1}{2}AH\)

M là trung điểm BC nên OM \(\perp\)BC

Xét \(\Delta AHG\)và \(\Delta OGM\)có :

\(\widehat{HAG}=\widehat{GMO}\); \(\frac{GM}{GA}=\frac{OM}{HA}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\Delta AGH~\Delta MOG\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{AGH}=\widehat{MGO}\)hay H,G,O thẳng hàng

gọi E,F,T lần lượt là trung điểm của AB,CD,BD

Đường thẳng ME cắt NF tại S

Vì AC = BD \(\Rightarrow EQFP\)là hình thoi \(\Rightarrow EF\perp PQ\)( 1 )

Xét \(\Delta TPQ\)và \(\Delta SEF\)có : \(ME\perp AB,TP//AB\)

Tương tự , \(NF\perp CD;\)\(TQ//CD\)

\(\Rightarrow\Delta TPQ~\Delta SEF\)( Góc có cạnh tương ứng vuông góc )

\(\Rightarrow\frac{SE}{SF}=\frac{TP}{TQ}=\frac{AB}{CD}\)

Mặt khác : \(\Delta MAB~\Delta NCD\Rightarrow\frac{AB}{CD}=\frac{ME}{NF}\)( tỉ số đường cao = tỉ số đồng dạng )

Suy ra : \(\frac{ME}{NF}=\frac{SE}{SF}\)\(\Rightarrow EF//MN\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(MN\perp PQ\)

Bài 4:

a, Chứng minh:  A B E ^ = A D E ^

b, Chứng minh được:  A C B ^ = B N M ^

=> C, D, E nhìn AB dưới góc bằng nhau nên A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn

=> BC là đường kính =>  B E C ^ = 90 0

a: Xét ΔHAB có

M là trung điểm của HA

N là trung điểm của HB

Do đó: MN là đường trung bình

=>MN//AB và MN=AB/2

=>MN//KC và MN=KC

=>NCKM là hình bình hành

b; Xét ΔBMC có

BH là đường cao

MN là đường cao

BH cắt MN tại N

DO đó:N là trực tâm

=>CN vuông góc với BM

=>BM vuông góc với MK

hay góc BMK=90 độ