Gọi h(x) chia p(x) đc thương R(x) = ax + b 

Theo bài ra ta có : H(x) = P(x) . q(x) + R(x) <=> x^54 + ... + x^9 + 1 = (x^2 - 1 )q(x) + ax + b <=> x^54 + x^45 +.. + x^9 + 1 = ( x-  1)( x+ 1 )  q(x) + ax + b

Thay x = 1 ta có 

1 + 1 + ... + 1 = (1 -1 )( 1 + 1 ) q(1) + a.1 + b 

=> 7 =  a + b => a= 7 - b 

Thay x = -1 ta có :

 -1 + -1 +.. + -1 = ( 1- (-1) ) ( 1 + (-1) ) . q(-1) + a.-1 + b 

=> -5 = b - a 

Thay a = 7 - b ta có :

  -5 = b - ( 7 - b) => -5 = b - 7 + b => 2b - 7 = -5 => 2b = 2 => b = 1 

a = 7 - b = 7 - 1 = 6 

VẬy dư của phwps chia là : 6x + 1 

Bạn làm sai ở chỗ H(x) tại -1 rồi!

nếu thay x=-1 thì H(x)=1 vì mũ chẵn=1 còn mũ lẻ mới = -1

nên a=3;b=4=>ax+b=3x+4.

a)

Gọi đa thức dư là A(x)

Vì đa thức dư P(x) có bậc là 3

nên đa thức dư có bậc không quá 2

hay đa thức dư có dạng là \(ax^2+bx+c\)

Ta có: Q(x)=\(A\left(x\right)\cdot\left(x-1\right)\cdot x\cdot\left(x+1\right)+ax^2+bx+c\)

Với x=1 thì a+b+c=6(1)

Với x=-1 thì a-b+c=-4(2)

Với x=0 thì  c=1

Thay c=1 vào (1), (2), ta được:

a+b=5 và a-b=-5

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=5-b\\5-b-b=-5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=5-b\\-2b=-5-5=-10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=5-5=0\\b=5\end{matrix}\right.\)

Vậy: đa thức dư có dạng là 5x+1

b) Để Q(x) chia hết cho P(x) thì 5x+1=0

\(\Leftrightarrow5x=-1\)

hay \(x=-\dfrac{1}{5}\)

Gọi (x^54 + x^45 +......+ x^9 + 1) =f(x) 

Đặt f(x) = (x^2 -1 )* Q(x) +R(x)

Do đa thức có bậc không quá 2 nên đa thức dư có bậc không quá 1 nên đặt R(x) = ax +b 

Thay vào ta có (x^54 + x^45 +x^36+......+x^9+1) = x^2 -1* Q(x) +ax+b

Lần lượt gán x=1 và x= -1 ta có 

F(1) = ( 1^54+1^45+.....,,+1^9+1)= 1^2-1 *Q(x) +a*1+ b 

=> 7 = a+b

Tương tự gán x =-1 ta dược 1= b-a

=> b= 7+1/2 =4

a= 7-4=3

Do đó dư là 3x +4