Ta có \(x^2+y^2=1\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=2xy+1\)

 Từ đó \(P=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x+y+1}\). Đặt \(x+y=t\left(t\ge0\right)\). Vì \(x+y\le\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}=2\) nên \(t\le\sqrt{2}\). ĐTXR \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\). Ta cần tìm GTLN của \(P\left(t\right)=\dfrac{t^2}{t+1}\) với \(0\le t\le\sqrt{2}\). 

 Giả sử có \(0\le t_1\le t_2\le\sqrt{2}\). Ta có BDT luôn đúng \(\left(t_2-t_1\right)\left(t_2+t_1+t_2t_1\right)\ge0\) \(\Leftrightarrow t_2^2-t_1^2+t_2^2t_1-t_2t_1^2\ge0\) \(\Leftrightarrow t_1^2\left(t_2+1\right)\le t_2^2\left(t_1+1\right)\) \(\Leftrightarrow\dfrac{t_1^2}{t_1+1}\le\dfrac{t_2^2}{t_2+1}\) \(\Leftrightarrow P\left(t_1\right)\le P\left(t_2\right)\).  Như vậy với \(0\le t_1\le t_2\le\sqrt{2}\) thì \(P\left(t_1\right)\le P\left(t_2\right)\). Do đó P là hàm đồng biến. Vậy GTLN của P đạt được khi \(t=\sqrt{2}\) hay \(x=y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\), khi đó \(P=2\sqrt{2}-2\)

Lời giải:
$P=\frac{2xy+1}{x+y+1}=\frac{2xy+x^2+y^2}{x+y+1}=\frac{(x+y)^2}{x+y+1}$

$=\frac{a^2}{a+1}$ với $x+y=a$

Áp dụng BĐT AM-GM:

$1=x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}=\frac{a^2}{2}$

$\Rightarrow a^2\leq 2\Rightarrow a\leq \sqrt{2}$

$P=\frac{a^2}{a+1}=\frac{a}{1+\frac{1}{a}}$
Vì $a\leq \sqrt{2}\Rightarrow 1+\frac{1}{a}\geq 1+\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{2+\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow P\leq \frac{\sqrt{2}}{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}=-2+2\sqrt{2}$

Vậy $P_{\max}=-2+2\sqrt{2}$ khi $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Chọn A.

Theo đầu bài ta có : 2log₂xy = log₂(x + y) hay x + y = (xy) ²

Đặt u = x + y và v = xy ta có điều kiện u² - 4v ≥ 0 ; u > 0; v > 0.

Mà u = v² nên v⁴ - 4v ≥ 0 suy ra 

Ta có P = v⁴ - 2v = g(v) với 

Đạo hàm g’(v) = 4v³-2 > 0 với mọi 

nên  khi    

Theo đầu bài ta có: log ₂x+ log₂y=log₄(x+y) hay 2 log ₂(xy) =log₂(x+y)

Suy ra x+y=(xy) ² 

Đặt u= x+ y; v= xy  ta có điều kiện u²-4v≥0; u>0; v>0 .

Mà 

Ta có 

nên minP=  2 4 3 khi 

Chọn A.

\(x^2+2\left(y-4\right)x+2y^2-4y=0\)

\(\Delta'=\left(y-4\right)^2-\left(2y^2-4y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow-y^2-4y+16\ge0\)

\(\Rightarrow-2-2\sqrt{5}\le y\le-2+2\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow y_{max}=-2+2\sqrt{5}\)

Khi đó \(x=6-2\sqrt{5}\)

Ta có :

\(A=x^2+2y^2+2xy-8x-4y\)

\(=\left(x^2+2xy+y^2\right)-8\left(x+y\right)+16+\left(y^2-4y+4\right)-20\)

\(=\left(x+y-4\right)^2+\left(y-2\right)^2-20\)

Với mọi x ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y-4\right)^2\ge0\\\left(y-2\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-4\right)^2+\left(y-2\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow A\ge-20\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=2\)

Vậy..

Bạn tham khảo lời giải tại đây:

cho \(x,y,z\ge0\) thỏa mãn \(x y z=6\). tìm GTLN và GTNN của biểu thức \(A=x^2 y^2 z^2\) - Hoc24