gọi d là UCLN (2n+1:3n+1)

ta có 2n+1 chia hết cho d            suy ra 3.(2n+1) chia hết cho d          suy ra 6n+3 chia hết cho d

         3n+1 chia hết cho d                      2.(3n+1) chia hết cho d                    6n+2 chia hết cho d    ta lấy 6n-6n là hết;3-2=1

                                                                                                                                                    suy ra d=1

                                                                                                        UCLN(2n+1;3n+1)=1

a)A=n/n+1=n/n+0/1

   B=n+2/n+3=n/n  +  2/3

ta có:0<2/3

=>A<B

Gọi  \(ƯCLN\left(6n+5;3n+2\right)\) là d.

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}6n+5⋮d\\3n+2⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}6n+5⋮d\\2\left(3n+2\right)⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}6n+5⋮d\\6n+4⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(6n+5\right)-\left(6n+4\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\left(6n+5;3n+2\right)=1\)

\(\Rightarrow\frac{6n+5}{3n+2}\) tối giản.

\(\frac{6n+5}{3n+2}\)tối giản

=>6n+5 chia hết cho 3n+2 

=>(6n+5)-2(3n+2)chia hết cho 3n+2

=>6n+5-6n-4 chia hết cho 3n+2

=>1 chia hết cho 3n+2

=>đpcm

Chứng minh P tối giản, ta đưa về chứng minh bài toán quen thuộc sau :

Chứng minh \(\left(6n+5;3n+2\right)=1\)

Bài làm:

Gọi \(\text{ƯCLN}\left(6n+5;3n+2\right)=d\)

Ta có : \(\hept{\begin{cases}6n+5⋮d\\3n+2⋮d\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}6n+5⋮d\\6n+4⋮d\end{cases}}}\)

Từ đây ta có : \(\left(6n+5\right)-\left(6n+4\right)⋮d\)

\(\Leftrightarrow1⋮d\)

\(\Leftrightarrow d\inƯ\left(1\right)=\left\{1\right\}\)

Vậy \(\text{ƯCLN}\left(6n+5;3n+2\right)=1\)ta có đpcm

Bài toán kết thúc...

a) Ta có: \({a_{n + 1}} = 3\left( {n + 1} \right) + 1 = 3n + 3 + 1 = 3n + 4\)

Xét hiệu: \({a_{n + 1}} - {a_n} = \left( {3n + 4} \right) - \left( {3n + 1} \right) = 3n + 4 - 3n - 1 = 3 > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)

Vậy \({a_{n + 1}} > {a_n}\).

a) Ta có: \({b_{n + 1}} =  - 5\left( {n + 1} \right) =  - 5n - 5\)

Xét hiệu: \({b_{n + 1}} - {b_n} = \left( { - 5n - 5} \right) - \left( { - 5n} \right) =  - 5n - 5 + 5n =  - 5 < 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)

Vậy \({b_{n + 1}} < {b_n}\).

vì n thuộc N* nên ta có:3 2n=(3 2)n=9 n

2 3n=(2 3)n=8 n

ví 9n>8n nên 3 2n>2 3n

vi n thuoc N* nen ta co:3²ⁿ=(3²)ⁿ=9ⁿ

                                 2³ⁿ=(2³)ⁿ =8ⁿ

vi 9ⁿ>8ⁿ nen 3²ⁿ>2³ⁿ

Vì n thuộc N*

Nên ta có:3²ⁿ=(3²)n=9ⁿ

2³ⁿ=(2³)ⁿ=8ⁿ

Vì 9ⁿ>8ⁿ nên 3²ⁿ>2³ⁿ