Đk: n khác 0, n khác -1

\(S=\dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac{1}{2\cdot3}+...+\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}\)

\(=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\)

\(=1-\dfrac{1}{n+1}\)

Vì \(0< \dfrac{1}{n+1}< 1\) (n khác 0, n khác -1) nên \(0< 1-\dfrac{1}{n+1}< 1\)

hay 0<S<1

Vậy S không là stn

Theo dạng tổng quát , ta có : 3S = n.( n + 1 ).( n + 2 )

Mà n.( n + 1 ).( n + 2 ) là h 3 số tự nhiên liên tiếp

=> 3S là h 3 số tự nhiên liên tiếp ( đpcm )

3S=1.2.3+2.3.(4-1)+....................+n.(n+1).[(n+2)-(n-1)]

3S=1.2.3+2.3.4-1.2.3+.............+n.(n+1).(n+2)-(n-1).n.(n+1)

3S=n.(n+1).(n+2)

Rõ ràng 3S là tích của ba số tự nhiên liên tiếp

Lời giải:
$3S=1.2(3-0)+2.3.(4-1)+3.4(5-2)+...+n(n+1)[(n+2)-(n-1)]$

$=[1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+n(n+1)(n+2)]-[0.1.2+1.2.3+2.3.4+...+(n-1)n(n+1)]$

$=n(n+1)(n+2)$
$\Rightarrow 3S+n(n+1)(n^2-2)=n(n+1)(n+2)+n(n+1)(n^2-2)$
$=n(n+1)(n+2+n^2-2)=n(n+1)(n^2+n)=n(n+1)n(n+1)=[n(n+1)]^2$ là số chính phương.

A=1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/n+1

=1-1/n+1

=n/n+1 không là số nguyên