cho các số thực fuwowng a,b,c thỏa mãn:a+b+c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(p=\frac{a}{9b^2+1}+\frac{b}{9c^2+1}+\frac{c}{9a^2+1}\)
Những câu hỏi liên quan
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn: a+b+c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(Q=\frac{1+a}{1+9b^2}+\frac{1+b}{1+9c^2}+\frac{1+c}{1+9a^2}\)
Ta có:
\(\frac{1+a}{1+9b^2}=a+1-\frac{9b^2\left(a+1\right)}{1+9b^2}\ge a+1-\frac{9b^2\left(a+1\right)}{2\sqrt{9b^2}}=a+1-\frac{3b\left(a+1\right)}{2}\)
Tương tự: \(\frac{1+b}{1+9c^2}\ge b+1-\frac{3c\left(1+b\right)}{2}\) ; \(\frac{1+c}{1+9a^2}\ge c+1-\frac{3a\left(c+1\right)}{2}\)
Cộng vế với vế:
\(Q\ge4-\frac{3}{2}\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}\left(ab+bc+ca\right)\)
\(Q\ge\frac{5}{2}-\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Đúng 1
Bình luận (0)
Cho 3 số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(P=\frac{a}{9a^3+3b^2+c}+\frac{b}{9b^3+3c^2+a}+\frac{c}{9c^3+3a^2+b}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky :
\(\left(9a^3+3b^2+c\right)\left(\frac{1}{9a}+\frac{1}{3}+c\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=1\)
\(\Rightarrow9a^3+3b^2+c\ge\frac{1}{\frac{1}{9a}+\frac{1}{3}+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{9a^3+3b^2+c}\le a\left(\frac{1}{9a}+\frac{1}{3}+c\right)\)
Thực hiện tương tự với các phân thức khác và cộng theo vế :
\(P\le\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{a+b+c}{3}+\left(ab+bc+ac\right)\)
\(P\le\frac{2}{3}+ab+bc+ac\)
Theo hệ quả quen thuộc của BĐT AM - GM :
\(ab+bc+ac\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1\Rightarrow P_{max}=1\)
Vậy GTLN của P là 1 khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b+ c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
\(T=\frac{a}{1+9b^2}+\frac{b}{1+9a^2}+\frac{c}{1+9a^2}\)
Giải nhanh giúp mình với ♥♥♥
Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Tìm GTLN của biểu thức
P=\(\frac{a}{9a^3+3b^2+c}+\frac{b}{9b^3+3c^2+a}+\frac{c}{9c^3+3a^2+b}\)
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn:a+b+c=\(\frac{1}{abc}\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=(a+b)(a+c)
Cho 3 số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P=\frac{a}{9a^3+3b^2+c}+\frac{b}{9b^3+3c^2+a}+\frac{c}{9c^3+3a^2+b}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((9a^3+3b^2+c)\left(\frac{1}{9a}+\frac{1}{3}+c\right)\geq (a+b+c)^2=1\)
\(\Rightarrow 9a^3+3b^2+c\geq \frac{1}{\frac{1}{9a}+\frac{1}{3}+c}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{9a^3+3b^2+c}\leq a\left(\frac{1}{9a}+\frac{1}{3}+c\right)\)
Thực hiện tương tự với các phân thức khác và cộng theo vế:
\(\Rightarrow P\leq \frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{a+b+c}{3}+(ab+bc+ac)\)
\(P\leq \frac{2}{3}+ab+bc+ac\)
Theo hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM:
\(ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow P\leq \frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1\Rightarrow P_{\max}=1\)
Vậy GTLN của $P$ là $1$ khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm GTNN của:
T = \(\frac{a}{1+9b^2}+\frac{b}{1+9c^2}+\frac{c}{1+9a^2}\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: \(\frac{1}{a}+\frac{4}{b}+\frac{9}{c}=1\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 9a + 9b +c
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(1=\frac{1}{a}+\frac{4}{b}+\frac{9}{c}=\frac{9}{9a}+\frac{36}{9b}+\frac{9}{c}\geq \frac{(3+6+3)^2}{9a+9b+c}\)
\(\Rightarrow P\geq 144\)
Vậy $P_{\min}=144$
Dấu "=" xảy ra khi $\frac{3}{9a}=\frac{6}{9b}=\frac{3}{c}$ hay $a=4; b=8; c=36$
Cho các số thực a,b,c thỏa mãn 5(a2+b2+c2)=6(ab+ac+bc). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P=(a+b+c)(\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\))
