Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(1=\frac{1}{a}+\frac{4}{b}+\frac{9}{c}=\frac{9}{9a}+\frac{36}{9b}+\frac{9}{c}\geq \frac{(3+6+3)^2}{9a+9b+c}\)
\(\Rightarrow P\geq 144\)
Vậy $P_{\min}=144$
Dấu "=" xảy ra khi $\frac{3}{9a}=\frac{6}{9b}=\frac{3}{c}$ hay $a=4; b=8; c=36$
Cho ba số thực dương a; b và c thỏa mãn :\(a+b+c=3\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
\(P=\sqrt{9a+16b}+\sqrt{9b+16c}+\sqrt{9c+16a}\)
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn \(ac\ge12,bc\ge8\). Tìm giá trị nhỏ nhất (nếu có) của biểu thức:
\(D=a+b+c+2\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)+\dfrac{8}{abc}\)
Câu 1: Chứng minh \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{(n-1)n}\) với ∀n∈\(N^*\)
Câu 2: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: \(\frac{a^4+b^4+c^4}{a+b+c}\geq abc\).
Câu 3: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn \(ab+bc+ca=3\). Chứng minh rằng: \(\sqrt{a^6+b^6+1}+\sqrt{b^6+c^6+1}+\sqrt{c^6+a^6+1}\geq 3\sqrt{3}\)
Câu 4: Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn \(a+b+c=3\).Chứng minh rằng: \(a^3+b^3+c^3\geq 3\)
Câu 5: Với \(a,b,c>0\) thỏa mãn điều kiện \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=1\). Chứng minh rằng: \(\sqrt\frac{b}{a}+\sqrt\frac{c}{b}+\sqrt\frac{a}{c}\leq 1\)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn \(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\). Chứng minh rằng :
\(\sqrt{9a^2+16}+\sqrt{9b^2+16}+\sqrt{9c^2+16}\le5\left(a+b+c\right)\)
Xét các số thực dương \(a;b\) thay đổi và thỏa mãn : \(a+b\ge2\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
\(P=\sqrt{16a^2.b^2+9}.\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\).
P/s : Em xin phép đăng bài toán nhờ quý thầy cô giáo và các bạn giúp đỡ, em cám ơn nhiều lắm ạ!
Xét 3 số thực dương \(a;b;c\) thay đổi và thỏa mãn điều kiện: \(3a^2+2.\left(b^2+bc+c^2\right)=9\).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
\(P=\sqrt{a^2+\dfrac{3}{b^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{3}{c^2}}+\sqrt{c^2+\dfrac{3}{a^2}}\)
P/s: Em xin phép nhờ quý thầy cô và các bạn hỗ trợ và giúp đỡ với ạ, em cám ơn rất nhiều!
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. Tìm GTNN của biểu thức
\(P=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{6abc}{ab+bc+ca}\)
cho a,b,c là số thực dương thỏa mãn 3ab+bc+2ac=6. Tìm max P\(=\frac{1}{a^2+1}+\frac{4}{b^2+4}+\frac{9}{c^2+9}\)
cho a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=1 .Tìm giá trị nhỏ nhất của
P =\(\frac{a^2}{1-a}\)+ \(\frac{b^{^2}}{1-b}\)+\(\frac{c^{^2}}{1-c}\)
