Đầu tiền dùng AM-GM cm tổng 3 phân thức đầu >= 6

 tổng 3 phân thức còn lại >= 3/2(bđt nesbit) .vậy là xong

bài này đùng Shinra nhé 

ưu điểm của  shinra : rất khó tìm ra lỗi sai , nếu vừa nói vừa làm thì có thể thầy cô cũng ko nhận ra :)  

nhược điểm : nếu bị để ý kĩ thì SM  luôn đấy :)

áp dụng BDT cô si ta có :

\(a+1+1\ge3\sqrt[3]{a}.\) tương tự với các mẫu còn lại

vì nó năm ở dưới mẫu dấu > thành dấu <

\(vt\le\frac{1}{3\sqrt[3]{a}}+\frac{1}{3\sqrt[3]{b}}+\frac{1}{3\sqrt[3]{c}}.\)

\(abc=1\Leftrightarrow a=\frac{1}{bc}\)

\(VT\le\frac{1}{\frac{3}{\sqrt[3]{bc}}}+\frac{1}{\frac{3}{\sqrt[3]{ac}}}+\frac{1}{\frac{3}{\sqrt[3]{ab}}}=\frac{\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ac}+\sqrt[3]{ab}}{3}\) 

có  \(a+b+C\ge3\sqrt[3]{abc}=3\) ( abc=1)  ( nhớ kĩ cái này là chìa khóa để rứt điểm bài này ko được quên nha )

nhân cả tử cả mẫu cho 3 ta được

\(VT\le\frac{3\sqrt[3]{bc}+3\sqrt[3]{ac}+3\sqrt[3]{ab}}{9}\)

\(3\sqrt[3]{b.c.1}\le\left(b+c+1\right)\) tương tự với các số hạng còn lại ta được

đến đây ta dùng Shinra nhé

\(VT\le\frac{2\left(a+b+c\right)+3}{9}=\frac{6+3}{9}=1\) 

k nguyên dương => \(k\ge1\)\(\Leftrightarrow\)\(a^k\ge a\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^k}{b+c}\ge\frac{a}{b+c}\)

Tương tự với 2 phân thức còn lại, cộng 3 bđt ta thu đc bđt Nesbit 3 ẩn => đpcm 

Ủa bất đẳng thức \(a^k\ge a\)chỉ đúng với a>1 thôi

Mà cách này của em có đúng không ạ

Dùng điểm rơi a=b=c=1

Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM:\(\frac{a^k}{b+c}+\frac{b+c}{4}+\frac{4}{8}+...+\frac{2^{k-1}}{2^k}\ge\frac{k}{2}a\)

Tương tự rồi cộng các vế tương ứng ta được:\(\frac{a^k}{b+c}+\frac{b^k}{c+a}+\frac{c^k}{a+b}+\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)+\frac{3}{2}\left(k-2\right)\ge\frac{k}{2}\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^k}{b+c}+\frac{b^k}{c+a}+\frac{c^k}{a+b}\ge\left(\frac{k}{2}-\frac{1}{2}\right)\left(a+b+c\right)-\frac{3}{2}k+3\)

Bây giờ chuẩn hóa(em không chắc có được hay không) a+b+c=3

\(\Rightarrow\frac{a^k}{b+c}+\frac{b^k}{c+a}+\frac{c^k}{a+b}\ge\frac{3}{2}k-\frac{3}{2}-\frac{3}{2}k+3=\frac{3}{2}\)

áp dụng BĐT bunhia... ta có 

\(\left(a+2b\right)^2=\left(1.a+\sqrt{2}\sqrt{2}b\right)^2\le\left(1+2\right)\left(a^2+2b^2\right)\le3.3c^2=9c^2\)

\(\Rightarrow a+2b\le3c\)

áp dụng cosi ta có 

\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}=9\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)

áp dụng BDT trên ta có \(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\ge\frac{9}{a+b+b}=\frac{9}{a+2b}\ge\frac{9}{3c}=\frac{3}{c}\left(đpcm\right)\)

dấu = xảy ra khi a=b=c

log 1 a b a c 2 =  - log a b a c 2

=  - 1 n log a b + 2 log a c

Đáp án cần chọn là D

1. Đề thiếu

2. BĐT cần chứng minh tương đương:

\(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)

Ta có:

\(a^4+b^4+c^4\ge\dfrac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\dfrac{1}{3}\left(ab+bc+ca\right)^2\ge\dfrac{1}{3}.3abc\left(a+b+c\right)\) (đpcm)

3.

Ta có:

\(\left(a^6+b^6+1\right)\left(1+1+1\right)\ge\left(a^3+b^3+1\right)^2\)

\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(a^3+b^3+1+b^3+c^3+1+c^3+a^3+1\right)\)

\(VT\ge\sqrt{3}+\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)

Lại có:

\(a^3+b^3+1\ge3ab\) ; \(b^3+c^3+1\ge3bc\) ; \(c^3+a^3+1\ge3ca\)

\(\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)+3\ge3\left(ab+bc+ca\right)=9\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)

\(\Rightarrow VT\ge\sqrt{3}+\dfrac{6}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\)

4.

Ta có:

\(a^3+1+1\ge3a\) ; \(b^3+1+1\ge3b\) ; \(c^3+1+1\ge3c\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+6\ge3\left(a+b+c\right)=9\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)

5.

Ta có:

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{c}}\) ; \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{c}{b}}\) ; \(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{b}{a}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{\dfrac{c}{b}}+\sqrt{\dfrac{a}{c}}\le\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=1\)

Câu 1:

\(VT=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\)

\(VT=1-\dfrac{1}{n}< 1\) (đpcm)

ai làm được mình hứa sẽ cho 9 ****