Gọi OH, OK lần lượt là chiều cao của tam giác AOB và tam giác DOC.

Ta có: OK ⊥ CD, CD // AB ⇒ OK ⊥ AB ⇒ O, H, K thẳng hàng.

Do đó:

Mà SABCD = SAOB + SBOC + SCOD + SDOA

Do đó SAOB + SCOD = SBOC + SDOA.

Trong mặt phẳng cho 2009 điểm bất kì sao cho 3 điểm bất kì trong chúng là 3 đỉnh của một tam giác có diện tích không lớn hơn 1. Chứng minh rằng tất cả những điểm đã cho nằm trong một tam giác có diện tích không lớn hơn 4

sửa lại đề nha

Qua O vẽ OH ⊥ AB và OK ⊥ AD ⇒ OH ⊥ DC, OK ⊥ BC

Gọi I, L lần lượt là giao điểm của OK, OH với DC, BC. Ta có:

+ S_ABCD = AB.IH = BC.KL

+ S_ABO = 1/2 AB.OH và S_CDO = 1/2 DC.OI

⇒ S_ABO + S_CDO = 1/2 AB.OH + 1/2 DC.OI

= 1/2 AB.OH + 1/2 AB.OI

= 1/2 AB (OH + OI) = 1/2 AB.IH = 1/2 S_ABCD (1)

+ S_BCO = 1/2 BC.OL và S_DAO = 1/2 AD.OK

⇒ S_BCO + SDAO = 1/2 BC.OL + 1/2AD.OK

= 1/2 BC.OL + 1/2BC.OK

= 1/2BC(OL + OK) = 1/2 BC.KL = 1/2S_ABCD (2)

Từ (1) và (2) ta có: S_ABO + S_CDO = S_BCO + S_DAO

Từ O lẻ đường thẳng d vuông góc với AB ở H₁, cắt CD ở H₂.

Ta có OH₁ ⊥ AB

Mà AB // CD

Nên OH₂ ⊥ CD

Do đó: S_ABO + S_CDO = \(\dfrac{1}{2}\)OH₁ . AB + \(\dfrac{1}{2}\) OH₂ . CD

= \(\dfrac{1}{2}\)AB (OH₁ + OH₂)

= \(\dfrac{1}{2}\)AB . H₁ . H₂

Nên \(S_{ABO}+S_{CDO}=\dfrac{1}{2}S_{ABCD}\) ( 1)

Tương tự (2)

Từ (1) và (2) suy ra :

\(S_{ABO}+S_{CDO}=S_{BCO}+S_{DAO}\)

Ta có S_ABO = OE.AB : 2

Vì \(\hept{\begin{cases}AB//CD\\\widehat{AEO}=90^{\text{o}}\end{cases}}\Rightarrow\widehat{CFO}=90^{\text{o}}\)

=> S_CDO = OF.CD : 2 = OF.AB : 2 

=> S_ABO + S_CDO = EF.AB : 2 = \(\frac{1}{2}S_{ABCD}\)(Vì EF là đường cao hình bình hành ABCD => S_ABCD = EF.AB)   

Tương tự ta được

S_BCO + S_DAO =  HK.BC : 2 = \(\frac{1}{2}S_{ABCD}\)(HK đường cao hình bình hành ABCD => S_ABCD = HK.BC) 

=> S_ABO + S_CDO = S_BCO + S_DAO (= \(\frac{1}{2}S_{ABCD}\)) => ĐPCM