Bạn tự vẽ hình nha
- Nếu O thuộc BD ta hiển nhiên có điều phải chứng minh
- Nếu O không thuộc BD
Giả sử BD cắt OA, OC lần lượt tại E, F
Từ D và B kẻ các đường vuông góc DH, BK xuống AO với H,K thuộc AO
Ta có : \(S_{OAD}=S_{OAB}\)mà hai tam giác này có chung đáy OA ⇒DH=BK
Xét tam giác DHE vuông tại H và tam giác BKE vuông tại K có:
DH=BK
\(\widehat{EDH}=90^o-\widehat{DEH}=90^o-\widehat{BEK}=\widehat{EBK}\)
\(\Rightarrow\Delta EDH=\Delta EBK\)
\(\Rightarrow DE=EB\)
Tương tự \(S_{ODC}=S_{OBC}\Rightarrow DF=FB\)
\(\Rightarrow E\equiv F\)
O, C, F thẳng hàng ; O, E, A thẳng hàng ; E = F ⇒⇒ A, C, O, E thẳng hàng. Vậy O thuộc đường chéo AC.
kuihihuolu uh
| ]o-][[p[po[]\[]iy89t768r67r675r65r67r5676666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 |
Gọi OH, OK lần lượt là chiều cao của tam giác AOB và tam giác DOC.
Ta có: OK ⊥ CD, CD // AB => OK ⊥ AB => O, H, K thẳng hàng.
Do đó :
\(S_{AOB} +S_{COD}=\frac{1}{2}.OH.AB+\frac{1}{2}.OK.CD\)
\(=\frac{1}{2}.OH.AB+\frac{1}{2}.OK.AB\)
\(=\frac{1}{2}.AB\left(OH+OK\right)\)
\(=\frac{1}{2}.AB.HK\)
\(=\frac{1}{2}S_{ABCD}\)
Mà : \(S_{ABCD}=S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COD}+S_{DOA}\)
\(\Rightarrow S_{BOC}+S_{DOA}=\frac{1}{2}S_{ABCD}\)
Do đó : \(S_{AOB}+S_{COD}=S_{BOC}+S_{DOA}\)
