a: Xét ΔABC có \(BC^2=AB^2+AC^2\)

nên ΔABC vuông tại A

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

\(\Leftrightarrow AH=\dfrac{60}{13}\left(cm\right)\)

b: Xét ΔABH vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AB

nên \(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔACH vuông tại H có HF là đường cao ứng với cạnh huyền AC

nên \(AF\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)

Bài 1: 

a: BC=30cm

AH=14,4(cm)

BH=10,8(cm)

a: Xét tứ giác AEHF có 

\(\widehat{FAE}=\widehat{HFA}=\widehat{HEA}=90^0\)

Do đó: AEHF là hình chữ nhật

Suy ra: AH=FE

a, Sử dụng hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu lên cạnh huyền và cạnh huyền trong tam giác vuông HBA và HCA

b, Tương tự a) và áp dụng hệ thức giữa đường cao và hình chiếu cạnh góc vuông lên cạnh huyền trong tam giác vuông ABC

Vì \(AM\perp AH\left(gt\right)\)(1)

và \(BC\perp AH\left(gt\right)\)(2)

Từ(1) và (2)

\(\Rightarrow AM//BC\)(T/c )

Mà \(EF//BC\)(* )

Do \(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\)(do vị trí đồng vị )'

\(\Rightarrow AH\perp EF\)(*)

Mà \(AM\perp AH\left(gt\right)\)(** )

Từ (*) và (** )

\(\Rightarrow AM\perp EF\)

( đpcm)

Gợi ý:  A F E ^ = A H E ^  (tính chất hình chữ nhật và  A H E ^ = A B H ^  (cùng phụ  B H E ^ )

Ta có: \(\widehat{C_1}=\widehat{A_1}\)(cùng phụ với \(\widehat{B_1}\)) \(\left(1\right)\)

Xét tứ giác AEHF có: \(\widehat{A}=\widehat{E}=\widehat{F}=\widehat{H}=90^o\)

=> tứ giác AEHF là h.c.n

=> \(\widehat{A_1}=\widehat{E_1}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{E_1}=\widehat{C_1}\)

vì \(\widehat{E_1}+\widehat{BEF}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{C_1}+\widehat{BEF}=180^o\) mà 2 góc đối nhau

=> tứ giác BEFC nội tiếp