Theo bài ra ta có 

AB + AH + BH = 30 

AC + CH + AH = 40

AB + BC + AC = 50 

Khi đó AB + AH + BH + AC + CH + AH = 70 

=> AB + AC + (BH + CH) + 2AH = 70

=> AB  + AC + BC + 2AH = 70

=> 50 + 2AH = 70

=> AH = 10

Vậy AH = 10 cm

Ta có \(\widehat{HAC}=\widehat{B}\) (cùng phụ với \(\widehat{C}\)) 

Mà \(\widehat{B}=\tan^{-1}\left(\dfrac{AC}{AB}\right)=\tan^{-1}\left(\dfrac{32}{24}\right)=\tan^{-1}\left(\dfrac{4}{3}\right)\approx53,13^o\)

Nên \(\widehat{HAC}\approx53,13^o\)

Ta có \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{24^2+32^2}=40\) cm

\(\Rightarrow IB=IC=20cm\)

Ta có \(CH=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{32^2}{40}=25,6cm\) 

\(AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{24.32}{40}=19,2cm\)

Do vậy \(\dfrac{CI}{CH}=\dfrac{IK}{AH}\Rightarrow IK=\dfrac{CI.AH}{CH}=\dfrac{20.19,2}{25,6}=15cm\)

Mặt khác \(\dfrac{CI}{CH}=\dfrac{CK}{CA}\Rightarrow CK=\dfrac{CI.CA}{CH}=\dfrac{20.32}{25,6}=25cm\)

\(\Rightarrow C_{CIK}=CI+CK+IK\) \(=20+15+25=60cm\)

Mặt khác, \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC=\dfrac{1}{2}.24.32=384cm^2\)

Lại có \(\Delta CIK~\Delta CAB\left(g.g\right)\) \(\Rightarrow\dfrac{S_{CIK}}{S_{CAB}}=\left(\dfrac{IK}{AB}\right)^2=\left(\dfrac{15}{24}\right)^2=\dfrac{25}{64}\)

\(\Rightarrow S_{CIK}=\dfrac{25}{64}S_{CAB}=\dfrac{25}{64}.384=150cm^2\)

Bài 5: 

Ta có: \(AB^2=BH\cdot BC\)

\(\Leftrightarrow BH\left(BH+9\right)=400\)

\(\Leftrightarrow BH^2+25HB-16HB-400=0\)

\(\Leftrightarrow BH=16\left(cm\right)\)

hay BC=25(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AC^2=CH\cdot BC\\AH\cdot BC=AB\cdot AC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AC=15\left(cm\right)\\AH=12\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Xét △AHB và △CHA có:

\(\widehat{AHB}=\widehat{CAB}=90^o\)

\(\widehat{ABH}=\widehat{CAH}\)(cùng phụ \(\widehat{HAB}\))

=> △AHB đồng dạng với △CHA (g.g)

=> \(\frac{AH}{CH}=\frac{AB}{CA}=\frac{AH+AB+HB}{CH+CA+HA}=\frac{18}{24}=\frac{3}{4}\left(1\right)\)

Xét △AHB và △CAB ta có:

\(\widehat{AHB}=\widehat{CAB}=90^o\)

\(\widehat{B}\)là góc chung

=> △AHB đồng dạng với △CAB (g.g)

=> \(\frac{AH}{CA}=\frac{AB}{CB}=\frac{AH+AB+HB}{CA+CB+AB}=\frac{18}{CA+CB+AB}\left(2\right)\)

Từ (1) ta đặt AB=3k, CA=4k. Xét △ABC vuông tại A

CB²=AB²+CA²=(3k)²+(4k)²=(5k)²

nên CB=5k. Do đó: \(\frac{AB}{CB}=\frac{3}{5}\)

Từ (2) => \(\frac{3}{5}=\frac{18}{P_{\text{△}ABC}}\)

Vậy \(P_{\text{△}ABC}=18\cdot\frac{5}{3}=30\left(cm\right)\)

    Gọi \(P_1,P_2,P_3\) lần lượt là chu vi của tam giác \(AHB;AHC;ABC\) ;

\(\Delta AHB\infty\Delta CHA\)suy ra

\(\frac{P_1}{P_2}=\frac{AB}{CA}\) (1)

Từ (1) , ta có:

\(\frac{AB}{AC}=\frac{18}{24}=\frac{3}{4}\Rightarrow\frac{AB}{3}=\frac{AC}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{AB^2}{3^2}=\frac{AC^2}{4^2}=\frac{AB^2+AC^2}{3^2+4^2}=\frac{BC^2}{5^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{AB}{3}=\frac{AC}{4}=\frac{BC}{5}\Rightarrow AB:AC:BC=3:4:5\)

                      \(P_1:P_2:P_3=AB:AC:BC=3:4:5\)

Vậy nếu \(P_1=18cm,\) ,\(P_2=24cm\) thì \(P_3=30cm\) .

Bạn còn thắc mắc gì về bài không ?

Điểm H nằm ở đâu vậy ?