A)XÉT  \(\Delta ABH\)VÀ \(\Delta ADH\)CÓ

\(BH=HD\left(gt\right);\widehat{AHB}=\widehat{AHD}=90^o;\)AH LÀ CẠNH CHUNG

=> \(\Delta ABH\)=\(\Delta ADH\)(C-G-C)

=> AB = AD ( hai cạnh tương ứng )

=> \(\Delta ABD\)là tam giác cân

nhắc lại kiến thức: mà trong tam giác cân có một góc bằng 60 độ suy ra tam giác đó là tam giác đều

MÀ \(\widehat{ABH}=60^o\)hay \(\widehat{ABD}=60^o\)

=> \(\Delta ABD\)là tam giác đều

B) XÉT \(\Delta ABH\)CÓ

\(\widehat{BAH}+\widehat{ABH}+\widehat{AHB}=180^o\Leftrightarrow\widehat{BAH}+60^o+90^o=180^o\Leftrightarrow\widehat{BAH}=180^o-\left(60^o+90^o\right)=30^o\)

vì \(\Delta ABH\)=\(\Delta ADH\)(cmt)

\(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{DAH}=30^o\)

có \(\widehat{BAH}+\widehat{DAH}+\widehat{DAC}=90^o\Leftrightarrow30^o+30^o+\widehat{DAC}=90^o\Leftrightarrow\widehat{DAC}=90^o-\left(30^o+30^o\right)=30^o\)

ta có \(\widehat{AHD}+\widehat{EDH}=90^o+90^o=180^o\)

hai góc này ở vị trí trong cùng phía bù nhau

=> AH // DE 

=>\(\widehat{HAD}=\widehat{ADE}=30^o\)

ta có \(\widehat{DAC}=\widehat{ADE}\)hay \(\widehat{EAD}=\widehat{ADE}\)

=> \(\Delta AED\)là tam giác cân

c) xét \(\Delta ABC\)CÓ

\(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\Leftrightarrow90^o+60^o+\widehat{C}=180^o\Leftrightarrow\widehat{C}=180^o-\left(90^o+60^o\right)=30^o\)

xét \(\Delta AHC\)VÀ \(\Delta CFA\)CÓ

AC LÀ CẠNH CHUNG

\(\widehat{H}=\widehat{F}=90^o\)

\(\widehat{ACH}=\widehat{CAF}=30^o\)

=> \(\Delta AHC\)=\(\Delta CFA\)(ch-gn)

\(\Rightarrow AH=CF\left(1\right)\)

vì \(\Delta AHC\)=\(\Delta CFA\)(cmt)

\(\Rightarrow HC=FA\)

xét \(\Delta HAF\)VÀ \(\Delta FCH\)CÓ 

\(AF=CH\left(cmt\right);\widehat{HAF}=\widehat{FCH}=30^o;HA=FC\left(cmt\right)\)

=>\(\Delta HAF\)=\(\Delta FCH\)(c-g-c)

\(\Rightarrow\widehat{AFH}=\widehat{CHF}\)HAY \(\widehat{AFH}=\widehat{DHF}\)

XÉT \(\Delta HAF\)CÓ

\(\widehat{HAF}+\widehat{AHD}+\widehat{DHF}+\widehat{AFH}=180^o\)

vì\(\widehat{AFH}=\widehat{DHF}\)

\(\Leftrightarrow30^o+90^o+2\widehat{AFH}=180^o\)

\(\Leftrightarrow2\widehat{AFH}=60^o\)

\(\Leftrightarrow\widehat{AFH}=30^o\)

xét \(\Delta HAF\)có

\(\widehat{AFH}=\widehat{HAF}=30^o\)

=>\(\Delta HAF\)cân tại H

=> \(AH=HF\left(2\right)\)

TỪ (1) VÀ (2) 

\(\Rightarrow AH=HF=FC\left(đpcm\right)\)

làm cả bài này mất 1 ngày 1 đêm :<

Xét diện tích  \(\Delta ABC\) thường ta CÓ

\(S_{ABC}=\frac{AH.BC}{2}\left(1\right)\)

Xét diện tích \(\Delta ABC\)vuông ta có 

\(S_{ABC}=\frac{AB.AC}{2}\left(2\right)\)

TỪ (1) VÀ (2)

\(\Leftrightarrow S_{ABC}=\frac{AH.BC}{2}=\frac{AB.AC}{2}\)

\(\Rightarrow AH.BC=AB.AC\)

\(\Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}\Leftrightarrow\frac{1}{AH}=\frac{BC}{AB.AC}\Leftrightarrow\frac{1^2}{AH^2}=\frac{BC^2}{AB^2.AC^2}\Leftrightarrow\frac{1}{AH^2}=\frac{BC^2}{AB^2.AC^2}\)

Mặt khác, theo định lý Pitago thì

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

THAY 

\(\Leftrightarrow\frac{1}{AH^2}=\frac{AB^2+AC^2}{AB^2.AC^2}\Leftrightarrow\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\left(đpcm\right)\)

a) Xét ΔABH vuông tại H và ΔADH vuông tại H có 

AH chung

BH=DH(gt)

Do đó: ΔABH=ΔADH(hai cạnh góc vuông)

Suy ra: AB=AD(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔABD có AB=AD(cmt)

nên ΔABD cân tại A(Định nghĩa tam giác cân)

Xét ΔABD cân tại A có \(\widehat{ABD}=60^0\)(gt)

nên ΔABD đều(Dấu hiệu nhận biết tam giác đều)

a) AH ⊥ BD (vì AH là đường cao Δ ABC )

HD=HB

⇒ AD = AB ( Quan hệ đương xiên- hình chiếu)

⇒ Δ ABD cân tại A

mà ∠ABD = 60\(^o\)

⇒ Δ ABD đều

b) Ta có : ∠ BAD +∠DAC =∠BAC

mà ∠ BAD =60\(^o\) ( Δ BAD đều ), ∠ BAC = 90\(^0\)

⇒60\(^0\) +∠ DAC = 90\(^0\)

⇒∠DAC = 90\(^0\) - 60\(^0\) =30\(^0\) (1)

Vì ED ⊥ BC ⇒ ∠EDB =90\(^0\)

Tương tự trên ∠BDA +∠ADE =∠EDB ⇒∠ADE =30\(^0\) (2)

Từ (1) và (2) ⇒ ∠DAC =∠ ADE =30\(^0\)

⇒ Δ AED cân tại E

c)Ta có:∠BDA+ ∠ADC= 180\(^0\) ,mà ∠BDA=60\(^0\)

⇒∠ADC=180\(^0\)- 60\(^0\)= 120\(^o\)

ΔADC có: ∠ADC+ ∠DAC +∠ DBA =180\(^o\)

⇒120\(^o\) +30\(^o\) + ∠ DBA= 180\(^o\)

⇒∠DBA=30\(^o\)

⇒∠DBA =∠ DAC =30\(^o\) ⇒ ΔADC cân tại D

Xét Δ AHD , Δ CFD có:

AH⊥BC, CF⊥AD

AD=DC ( Δ ACD cân tại D)

∠HDA =∠ FDC ( vì đối đỉnh )

⇒ Δ vuông AHD = Δ vuông CFD ( cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ HA= FC( 2 cạnh tương ứng ) (3)

và HD=DF ( 2 cạnh tương ứng)⇒ ∠DHF =∠DFH =\(\dfrac{180^0-g\text{óc}HDF}{2}\) (theo tính chất Δ cân)(4)

Ta có: ΔDAC cân tại D (cmt)⇒∠ADC = 180\(^o\) - (∠DAC+ ∠ DCA)

=180\(^o\) -( 30\(^o\) +30\(^o\) )

= 120\(^o\)

Ta có ∠ADC = ∠ HDF= 120\(^o\) ( vì đối đỉnh )

Thay ∠HDF = 120\(^o\) vào ( 4 ) ta có:∠ HFD =(180\(^o\)- 120\(^o\)) : 2 =30\(^o\)(5)

ΔABD đều⇒ đường cao AH đồng thời là phân giác∠ BAD

⇒ ∠HAD= ∠BAD :2= 60\(^o\) :2 =30\(^o\)(6)

Từ (5),(6) ⇒ ∠HAD =∠HFD ⇒HA =HF (tính chất Δ cân) (7)

Từ (3), (7) ⇒HA =HF=FC

@Lê Thị Diệu Đan xem qua

a: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHD vuông tại H có

AH chung

HB=HD

=>ΔAHB=ΔAHD

=>AB=AD
mà góc B=60 độ

nên ΔABD đều

b: góc CAD=90-60=30 độ=góc HAD

=>AD là phân giác của góc HAC

=>DH/AH=DC/AC

mà AH<AC

nên DH<DC

a: Xét ΔABD có

AH vừa là đường cao, vừa là trung tuyến

=>ΔABD cân tại A

b: Gọi K là giao của CM và AH

Xét ΔAKC có

AM,Ch là đường cao

AM cắt CH tại D

=>D là trực tâm

=>KD vuông góc AC

=>K,D,E thẳng hàng

=>AH,ED,CM đồng quy

a: Xét ΔABD có

AH vừa là đường cao, vừa là trung tuyến

=>ΔABD cân tại A

b: Gọi K là giao của CM và AH

Xét ΔAKC có

AM,Ch là đường cao

AM cắt CH tại D

=>D là trực tâm

=>KD vuông góc AC

=>K,D,E thẳng hàng

=>AH,ED,CM đồng quy