a)  Xét  \(\Delta ABC\)và    \(\Delta HBA\)có:

         \(\widehat{B}\) chung

        \(\widehat{BAC}=\widehat{BHA}=90^0\)

suy ra:    \(\Delta ABC~\Delta HBA\)  (g.g)

b)  Xét   \(\Delta AIH\)và     \(\Delta AHB\)có:

        \(\widehat{AIH}=\widehat{AHB}=90^0\)

        \(\widehat{IAH}\)  chung

suy ra:    \(\Delta AIH~\Delta AHB\) (g.g)

\(\Rightarrow\)\(\frac{AI}{AH}=\frac{AH}{AB}\)  \(\Rightarrow\)  \(AI.AB=AH^2\)  (1)

Xét    \(\Delta AHK\)và     \(\Delta ACH\)có:

    \(\widehat{HAK}\)chung

   \(\widehat{AKH}=\widehat{AHC}=90^0\)

suy ra:   \(\Delta AHK~\Delta ACH\)  (g.g)

\(\Rightarrow\)\(\frac{AH}{AC}=\frac{AK}{AH}\)

\(\Rightarrow\)\(AK.AC=AH^2\)    (2)

Từ (1) và (2) suy ra:    \(AI.AB=AK.AC\)

c)   \(S_{ABC}=\frac{1}{2}.AH.BC=20\)cm²

Tứ giác  \(HIAK\)có:     \(\widehat{HIA}=\widehat{IAK}=\widehat{AKH}=90^0\)

\(\Rightarrow\)\(HIAK\)là hình chữ nhật

\(\Rightarrow\)\(AH=IK=4\)cm

Ta có:   \(AI.AB=AK.AC\) (câu b)

 \(\Rightarrow\)\(\frac{AI}{AC}=\frac{AK}{AB}\)

Xét    \(\Delta AIK\)và    \(\Delta ACB\)có:

    \(\widehat{IAK}\)chung

   \(\frac{AI}{AC}=\frac{AK}{AB}\) (cmt)

suy ra:   \(\Delta AIK~\Delta ACB\)  (c.g.c)

\(\Rightarrow\)\(\frac{S_{AIK}}{S_{ACB}}=\left(\frac{IK}{BC}\right)^2=\frac{4}{25}\)

\(\Rightarrow\)\(S_{AIK}=\frac{4}{25}.S_{ACB}=3,2\)cm²

a: góc AIH=góc AKH=góc KAI=90 độ

=>AIHK là hcn

b: AIHK là hcn

=>góc AIK=góc AHK=góc C

=>ΔAIK đồng dạng với ΔACB

a: Xét tứ giác ADHE có 

\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{EAD}=90^0\)

Do đó: ADHE là hình chữ nhật

b: BC=10cm

AH=4,8cm

BH=3,6cm

CH=6,4cm

a) -Sửa đề: \(AC=4cm\) (sửa lại cho số được đẹp)

-△ABC vuông tại A có: \(BC^2=AB^2+AC^2\).

\(\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\left(cm\right)\)

△ACH và △BCA có: \(\widehat{AHC}=\widehat{BAC};\widehat{BCA}\) là góc chung.

\(\Rightarrow\)△ACH∼△BCA (g-g) 

\(\Rightarrow\dfrac{CH}{CA}=\dfrac{AC}{BC}\Rightarrow CH=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{4^2}{5}=3,2\left(cm\right)\).

△ABC có: IH//BC (cùng vuông góc AB).

\(\Rightarrow\dfrac{AI}{AB}=\dfrac{CH}{CB}\Rightarrow AI=\dfrac{AB.CH}{CB}=\dfrac{3.3,2}{5}=1,92\left(cm\right)\).

-Tứ giác AIHK có: \(\widehat{IAK}=\widehat{AIH}=\widehat{AKH}=90^0\).

\(\Rightarrow\)AIHK là hình chữ nhật \(\Rightarrow\widehat{AKI}=\widehat{CAH}\).

\(\widehat{CAH}=90^0-\widehat{ACB}=\widehat{ABC}\Rightarrow\widehat{AKI}=\widehat{ABC}\).

-△AIK và △ACB có: \(\widehat{AKI}=\widehat{ABC};\widehat{BAC}\) là góc chung.

\(\Rightarrow\)△AIK∼△ACB (g-g).

\(\Rightarrow\dfrac{S_{AIK}}{S_{ACB}}=\left(\dfrac{AI}{AC}\right)^2=\left(\dfrac{1,92}{4}\right)^2=0,2304\)

\(\Rightarrow S_{AIK}=0,2304.S_{ABC}=0,2304.\dfrac{1}{2}.3.4=1,3824\left(cm^2\right)\)

b) *CM cắt AH tại D, BM cắt AC tại F.

AH⊥BC tại H, BM⊥BC tại B \(\Rightarrow\)AH//BM.

E đối xứng với H qua AB \(\Rightarrow\widehat{HAB}=\widehat{BAM}\)mà \(\widehat{HAB}=\widehat{ABM}\).

\(\Rightarrow\)\(\widehat{ABM}=\widehat{BAM}\) \(\Rightarrow\)△ABM cân tại M \(\Rightarrow AM=BM\)

\(\widehat{ABM}=\widehat{BAM}\Rightarrow\widehat{MAF}=\widehat{MFA}\) \(\Rightarrow\)△AMF cân tại M \(\Rightarrow AM=FM\).

\(\Rightarrow BM=FM\) nên M là trung điểm BC.

-△BCM có: DH//BM \(\Rightarrow\dfrac{DH}{BM}=\dfrac{DC}{MC}\).

-△FCM có: AD//FM \(\Rightarrow\dfrac{DA}{FM}=\dfrac{DC}{MC}=\dfrac{DH}{BM}\Rightarrow DA=DH\)

\(\Rightarrow\)D là trung điểm AH mà AIHK là hình chữ nhật.

\(\Rightarrow\)D là trung điểm IK.

-Vậy IK, AH, CM đồng quy tại D.