Question

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A. Đường cao AH. Gọi I, K lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC.

a) Chứng minh AIHK là hình chữ nhật

b) Chứng minh \(AH^2=BH.CH\)

c) Chứng minh \(\Delta AIK\)đồng dạng \(\Delta ACB\)

d) Tính diện tích của \(\Delta AIK\), biết BC = 10cm, AH = 4cm

Answer 1

a, bạn tự làm nhé 

b, Xét tam giác ABH và tam giác CAH ta có 

^AHB = ^CHA = 90⁰

^ABH = ^CAH ( cùng phụ ^BAH )

Vậy tam giác ABH  ~ tam giác CAH ( g.g )

\(\Rightarrow\frac{AH}{CH}=\frac{BH}{AH}\Rightarrow AH^2=BH.CH\)

Answer 2

c, mình làm hơi tắt nhé, bạn dùng tỉ lệ thức xác định tam giác đồng dạng nhé

Dễ có :  \(AH^2=AK.AC\)(1) 

\(AH^2=AI.AB\)(2)  

Từ (1) ; (2) suy ra : \(AK.AC=AI.AB\Rightarrow\frac{AK}{AB}=\frac{AI}{AC}\)

Xét tam giác AIK và tam giác ACB

^A _ chung 

\(\frac{AK}{AB}=\frac{AI}{AC}\)( cmt )

Vậy tam giác AIK ~ tam giác ACB ( c.g.c )

Answer 3

Trả lời:

a, Xét tứ giác AIHK, có:

\(\widehat{AIH}=90^o\)

\(\widehat{IAK}=90^o\)

\(\widehat{AKH}=90^o\)

=> tứ giác AIHK là hình chữ nhật ( đpcm )

b, Xét \(\Delta HBA\)và \(\Delta ABC\)có:

\(\widehat{BHA}=\widehat{BAC}\)\(=90^o\)

\(\widehat{B}\)chung

\(\Rightarrow\Delta HBA~\Delta ABC\left(g-g\right)\)(1)

Xét \(\Delta HAC\)và \(\Delta ABC\)có:

\(\widehat{AHC}=\widehat{BAC}\)\(=90^o\)

\(\widehat{C}\)chung 

\(\Rightarrow\Delta HAC~\Delta ABC\left(g-g\right)\)(2)

Từ (1) và (2) => \(\Delta HBA~\Delta HAC\)( cùng đồng dạng với tam giác ABC )

\(\Rightarrow\frac{AH}{CH}=\frac{BH}{AH}\)( tỉ số đồng dạng )

\(\Rightarrow AH^2=BH\cdot CH\)( đpcm )

c, Xét \(\Delta IHA\)và \(\Delta HBA\)có:

\(\widehat{HIA}=\widehat{BHA}\)\(=90^o\)

\(\widehat{BAH}\)chung 

\(\Rightarrow\Delta IHA~\Delta HBA\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AH}{AB}=\frac{AI}{AH}\)( tỉ số đồng dạng )

\(\Rightarrow AH^2=AB\cdot AI\)(3) 

Xét \(\Delta KAH\)và \(\Delta HAC\)có:

\(\widehat{HKA}=\widehat{AHC}=90^o\)

\(\widehat{HAC}\)chung 

\(\Rightarrow\Delta KAH~\Delta HAC\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AH}{AC}=\frac{AK}{AH}\)( tỉ số đồng dạng )

\(\Rightarrow AH^2=AC\cdot AK\)(4) 

Từ (3) và (4) ta có:

\(AB\cdot AI=AC\cdot AK\)

\(\Rightarrow\frac{AB}{AK}=\frac{AC}{AI}\)

Xét \(\Delta AIK\)và \(\Delta ACB\)có:

\(\widehat{BAC}\)chung 

\(\frac{AB}{AK}=\frac{AC}{AI}\)( cmt )

\(\Rightarrow\Delta AIK~\Delta ACB\left(c-g-c\right)\)( đpcm )

d,  Vì AIHK là hình chữ nhật ( cmt )

=> IK = AH = 4 cm (tc)

Ta có: \(S_{ACB}=\frac{1}{2}\cdot AH\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot4\cdot10=20\left(cm^2\right)\)

Vì \(\Delta AIK~\Delta ACB\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\frac{S_{AIK}}{S_{ACB}}=\left(\frac{IK}{BC}\right)^2=\left(\frac{4}{10}\right)^2=\frac{4}{25}\)

Mà \(S_{ACB}=20cm^2\)

\(\Rightarrow\frac{S_{AIK}}{20}=\frac{4}{25}\)\(\Rightarrow S_{AIK}=\frac{4}{25}\cdot20=3,2\left(cm^2\right)\)

Vậy \(S_{AIK}=3,2cm^2\)