a) \(\Delta'=\left[-\left(m+1\right)\right]^2-4m+m^2\)

\(\Delta'=m^2+2m+1+m^2-4m=2m^2-2m+1\)

\(\Delta'=2\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}>0\)

=> pt luôn có 2 nghiệm phân biệt

b) Theo hệ thức viet, ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=4m-m^2\end{cases}}\)

Theo bài ra, ta có: A = |x₁ - x₂|

A² = (x₁ - x₂)² = (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂

A² = [2(m + 1)]² - 4(4m - m²)

A² = 4m² + 8m + 4 - 8m  + 4m² = 8m² + 4 \(\ge\)4 với mọi m

Dấu "=" xảy ra <=> m = 0

Vậy MinA = 4 khi m = 0

a) Xét \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(4m-m^2\right)=2m^2-2m+1=m^2+\left(m-1\right)^2>0\)với mọi m

Vậy pt trên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

b) Gọi x₁ ; x₂ là 2 nghiệm của pt trên . Theo hệ thức Viet , ta có :

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=4m-m^2\end{cases}}\)

Xét \(A^2=\left|x_1-x_2\right|^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=4\left(m+1\right)^2-4\left(4m-m^2\right)\)

\(=8m^2-8m+4=2\left(4m^2-4m+1\right)+2=2\left(2m-1\right)^2+2\ge2\)

Dấu " = " xảy ra khi 2m - 1 = 0

Vậy \(A^2\ge2\Leftrightarrow A=\left|x_1-x_2\right|\ge\sqrt{2}\)

Dấu " = " xảy ra khi \(m=\frac{1}{2}\)

Do đó minA \(=\sqrt{2}\)khi \(m=\frac{1}{2}\)

a) Ta có:

  \(\Delta'=\left[-\left(m+1\right)\right]^2-1.\left(4m-m^2\right)=\left(m+1\right)^2+\left(m^2-4m\right)\)

        \(=m^2+2m+1+m^2-4m=2m^2-2m+1\)

        \(=\left(2m^2-2m+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}=2\left(m^2-m+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{2}\)

          \(=2\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}\)

hay \(\Delta'>0\)\(\Rightarrow\)Phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt (đpcm)

b) Vì phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

  \(\Rightarrow\)Theo Viet ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m+1\right)=2m+2\\x_1.x_2=4m-m^2\end{cases}}\)

Ta có: \(A=\left|x_1-x_2\right|>0\)

 \(\Rightarrow A^2=\left(\left|x_1-x_2\right|\right)^2=\left(x_1-x_2\right)^2=x_1^2+x_2^2-2x_1.x_2\)

            \(=\left(x_1^2+x_2^2+2x_1.x_2\right)-4x_1.x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1.x_2\)

            \(=\left(2m+2\right)^2-4\left(4m-m^2\right)=4m^2+8m+4-16m+4m^2\)

            \(=8m^2-8m+4=\left(8m^2-8m+2\right)+2\)

             \(=8\left(m^2-m+\frac{1}{4}\right)+2=8\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+2\ge2\)

mà \(A>0\)\(\Rightarrow A\ge\sqrt{2}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow m-\frac{1}{2}=0\)\(\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\)

Vậy \(minA=\sqrt{2}\)\(\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\)

\(x^2-2\left(m-1\right)x-2m=0\)

\(\text{Δ}=\left(-2m+2\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-2m\right)\)

\(=4m^2-8m+4+8m=4m^2+4>=4>0\forall m\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

​\(\Delta'=m^2+1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=m+1+\sqrt{m^2+1}\\x_2=m+1-\sqrt{m^2+1}\end{matrix}\right.\)

(Do \(m+1-\sqrt{m^2+1}< \sqrt{m^2+1}+1-\sqrt{m^2+1}< 4\) nên nó ko thể là nghiệm \(x_1\))

Từ điều kiện \(x_1\ge4\Rightarrow m+1+\sqrt{m^2+1}\ge4\Rightarrow\sqrt{m^2+1}\ge3-m\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge3\\\left\{{}\begin{matrix}m< 3\\m^2+1\ge m^2-6m+9\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\ge\dfrac{4}{3}\)

​​Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=2m\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2=9x_2+10\Leftrightarrow x_1\left(x_1+x_2\right)-x_1x_2=9x_2+10\)

\(\Leftrightarrow2\left(m+1\right)x_1-2m=9x_2+10\)

\(\Leftrightarrow2\left(m+1\right)x_1-2m=9\left(2\left(m+1\right)-x_1\right)+10\)

\(\Leftrightarrow\left(2m+11\right)x_1=20m+28\Rightarrow x_1=\dfrac{20m+28}{2m+11}\) 

\(\Rightarrow x_2=2\left(m+1\right)-x_1=\dfrac{4m^2+6m-6}{2m+11}\)

Thế vào \(x_1x_2=2m\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{20m+28}{2m+11}\right)\left(\dfrac{4m^2+6m-6}{2m+11}\right)=2m\)

\(\Leftrightarrow\left(3m-4\right)\left(12m^2+40m+21\right)=0\)

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{4}{3}\) (do \(12m^2+40m+21>0;\forall m\ge\dfrac{4}{3}\))

Đề sai rồi bạn

a: \(\text{Δ}=\left(2m+1\right)^2-4m\left(m+3\right)\)

\(=4m^2+4m+1-4m^2-12m\)

\(=-8m+1\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0

\(\Leftrightarrow-8m+1>0\)

\(\Leftrightarrow-8m>-1\)

hay \(m< \dfrac{1}{8}\)

\(m=0\) là okee rồi nè

còn \(x_1=x_2\) thì như sau :

\(\Leftrightarrow x_1-x_2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=0^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=0\)

Tới đây rồi áp dụng cái Vi-ét vào là được m còn lại nhe.

a) ∆' = [-(m - 3)]² - (m² + 3)

= m² - 6m + 9 - m² - 3

= -6m + 6

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm thì ∆' ≥ 0

⇔ -6m + 6 ≥ 0

⇔ 6m ≤ 6

⇔ m ≤ 1

Vậy m ≤ 1 thì phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm

b) Theo định lý Viét, ta có:

x₁ + x₂ = 2(m - 3) = 2m - 6

x₁x₂ = m² + 3

Ta có:

(x₁ - x₂)² - 5x₁x₂ = 4

⇔ x₁² - 2x₁x₂ + x₂² - 5x₁x₂ = 4

⇔ x₁² + 2x₁x₂ + x₂² - 2x₁x₂ - 2x₁x₂ - 5x₁x₂ = 4

⇔ (x₁ + x₂)² - 9x₁x₂ = 4

⇔ (2m - 6)² - 9(m² + 3) = 4

⇔ 4m² - 24m + 36 - 9m² - 27 = 4

⇔ -5m² - 24m + 9 = 4

⇔ 5m² + 24m - 5 = 0

⇔ 5m² + 25m - m - 5 = 0

⇔ (5m² + 25m) - (m + 5) = 0

⇔ 5m(m + 5) - (m + 5) = 0

⇔ (m + 5)(5m - 1) = 0

⇔ m + 5 = 0 hoặc 5m - 1 = 0

*) m + 5 = 0

⇔ m = -5 (nhận)

*) 5m - 1 = 0

⇔ m = 1/5 (nhận)

Vậy m = -5; m = 1/5 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn yêu cầu

a: \(\Delta=\left[-2\left(m-3\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(m^2+3\right)\)

\(=\left(2m-6\right)^2-4\left(m^2+3\right)\)

\(=4m^2-24m+36-4m^2-12=-24m+24\)

Để phương trình có hai nghiệm thì \(\Delta>=0\)

=>-24m+24>=0

=>-24m>=-24

=>m<=1

b: Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{-\left[-2\left(m-3\right)\right]}{1}=2\left(m-3\right)\\x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=m^2+3\end{matrix}\right.\)

\(\left(x_1-x_2\right)^2-5x_1x_2=4\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2-5x_2x_1=4\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-9x_1x_2=4\)

=>\(\left(2m-6\right)^2-9\left(m^2+3\right)=4\)

=>\(4m^2-24m+36-9m^2-27-4=0\)

=>\(-5m^2-24m+5=0\)

=>\(-5m^2-25m+m+5=0\)

=>\(-5m\left(m+5\right)+\left(m+5\right)=0\)

=>(m+5)(-5m+1)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}m+5=0\\-5m+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-5\left(nhận\right)\\m=\dfrac{1}{5}\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

a) Ta có  : \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m^2+4m+3\right)=-2m-2\)

Để pt có 2 nghiệm phân biêt \(\Leftrightarrow\Delta'>0\Leftrightarrow m< -1\)

b) Theo hệ thức Viet \(\hept{\begin{cases}S=x_1+x_2=-2\left(m+1\right)\\P=x_1x_2=m^2+4m+3\end{cases}}\)

\(\Rightarrow A=m^2+4m+3+4\left(m+1\right)=m^2+4m+3+4m+4=m^2+8m+7\)

c) Ta có : \(A=m^2+8m+7=m^2+8m+16-9=\left(m+4\right)^2-9\ge-9\)

Dấu " = " xảy ra khi <=> m = -4 ( tm m < -1 )

Vậy minA = -9 tại m = -4