Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(9a^3+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\ge3\sqrt[3]{9a^3\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}}=3a\)

\(3b^2+\frac{1}{3}\ge2\sqrt{3b^2\cdot\frac{1}{3}}=2b\)

Do đó: \(A\le\text{∑}\frac{a}{3a+2b+c-1}=\frac{a}{2a+b}\left(a+b+c=1\right)\)

\(2A\le\text{∑}\frac{2a}{2a+b}=3-\text{∑}\frac{b}{2a+b}=3-\text{∑}\frac{b^2}{2ab+b^2}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(2A\le3-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}\)

\(=3-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=2\Leftrightarrow A\le1\)

Dấu "=" khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Ngoài http://olm.vn/hoi-dap/question/779981.html còn cách khác

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(9a^3+3a^2+c\right)\left(\frac{1}{9a}+\frac{1}{3}+c\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow A\le\text{∑}\frac{a\left(\frac{1}{9a}+\frac{1}{3}+c\right)}{\left(a+b+c\right)^2}=\text{∑}\left(\frac{1}{9}+\frac{a}{3}+ac\right)\)

\(=\frac{1}{3}+\frac{a+b+c}{3}+\text{∑}ab\le\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=1\)

Dấu "=" khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

a.b.c=1 thật hả. Rắc rối thế. Để nghĩ tiếp

không biết

1) Ta có : Đặt M = 3^{x + 1} + 3^{x + 2} + ... + 3^{x + 100}

= 3^x(3 + 3² + ... + 3¹⁰⁰) 

= 3^x[(3 + 3² + 3³ + 3⁴) + (3⁵ + 3⁶ + 3⁷ + 3⁸) + ... + (3⁹⁷ 3⁹⁸ + 3⁹⁹ + 3¹⁰⁰)]

= 3^x[(3 + 3² + 3³ + 3⁴) + 3⁴.(3 + 3² + 3³ + 3⁴) + ... + 3⁹⁶.(3 + 3² + 3³ + 3⁴)]

= 3^x(120 + 3⁴.120 + .... + 3⁹⁶.120)

= 3^x.120.(1 + 3⁴ + .... + 3⁹⁶)

=> \(M⋮120\)(ĐPCM)

2) Ta có \(\frac{3a+b+c}{a}=\frac{a+3b+c}{b}=\frac{a+b+3c}{c}\)

\(\Rightarrow\frac{3a+b+c}{a}-2=\frac{a+3b+c}{b}-2=\frac{a+b+3c}{c}-2\)

\(\Rightarrow\frac{a+b+c}{a}=\frac{a+b+c}{b}=\frac{a+b+c}{c}\)

Nếu a + b + c = 0

=> a + b = - c

b + c = -a

c + a = -b

Khi đó P = \(\frac{-c}{c}+\frac{-a}{a}+\frac{-b}{b}=\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)=-3\)

Nếu a + b + c \(\ne\)0

=> \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Rightarrow a=b=c\)

Khi đó P = \(\frac{2c}{c}+\frac{2a}{a}+\frac{2b}{b}=2+2+2=6\)

Vậy nếu a + b + c = 0 thì P = -3

nếu a + b + c  \(\ne\)0 thì P = 6

Ta có : 

\(3^{x+1}+3^{x+2}+3^{x+3}+...+3^{x+100}\)

\(=\left(3^{x+1}+3^{x+2}+3^{x+3}+3^{x+4}\right)+...\)\(+\left(3^{x+97}+3^{x+98}+3^{x+99}+3^{x+100}\right)\)

\(=3^x\left(3+3^2+3^3+3^4\right)+...+3^{x+96}\left(3+3^2+3^3+3^4\right)\)

\(=3^x.120+3^{x+4}.120+...+3^{x+96}.120\)

\(=120.\left(3^x+3^{x+4}+...+3^{x+96}\right)\)

Vì \(120⋮120\)

\(\Rightarrow120.\left(3^x+3^{x+4}+...+3^{x+96}\right)⋮120\)

\(\Rightarrow3^{x+1}+3^{x+2}+3^{x+3}+...+3^{x+100}⋮120\left(\forall x\inℕ\right)\left(đpcm\right)\)

Câu 3 mk test thôi nhé , mk chưa thử lại đâu :P

ta có : x+2y=3xy+3

=>yx+2y=3xy+3y

=>y.(x+2)=y.[3.(x+1)]

=>x+2=3x+3

=>-2x=1

=>x= -1/2

Thay vào , Ta có :

-1/2+2y=-3y/2+3

=>y/2=7/2

=>y=7

vì x= -1/2

=>x;y thuộc tập hợp rỗng :>

ko khó nhưng mà bn đăng từng câu 1 hộ mk mk giải giúp cho

gt <=> \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)

Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)

=> Thay vào thì     \(VT=\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{xy}\right)}+\frac{1}{\frac{yz}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{yz}\right)}}+\frac{1}{\frac{zx}{\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{zx}\right)}}\)

\(VT=\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\)

Có BĐT x, y, z > 0 thì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge9xyz\)Ta thay \(xy+yz+zx=1\)vào

=> \(x+y+z\ge9xyz=>\frac{x+y+z}{3}\ge3xyz\)

=> Từ đây thì \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{4}.\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{4}.\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)

=> Ta có ĐPCM . "=" xảy ra <=> x=y=z <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\) 

Đặt: \(\sqrt{a}=x;\sqrt{b}=y;\sqrt{c}=z\)

=>     \(P=\frac{xy}{z^2+3xy}+\frac{yz}{x^2+3yz}+\frac{zx}{y^2+3zx}\)

=>     \(3P=\frac{3xy}{z^2+3xy}+\frac{3yz}{x^2+3yz}+\frac{3zx}{y^2+3zx}=1-\frac{z^2}{z^2+3xy}+1-\frac{x^2}{x^2+3yz}+1-\frac{y^2}{y^2+3zx}\)

Ta sẽ CM: \(3P\le\frac{9}{4}\)<=> Cần CM: \(\frac{x^2}{x^2+3yz}+\frac{y^2}{y^2+3zx}+\frac{z^2}{z^2+3xy}\ge\frac{3}{4}\)

Có:    \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\)

Ta sẽ CM: \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{3}{4}\)

<=> \(4\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)+9\left(xy+yz+zx\right)\)

<=> \(4\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+zx\right)\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)+9\left(xy+yz+zx\right)\)

<=> \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)

Mà đây lại là 1 BĐT luôn đúng => \(3P\le\frac{9}{4}\)=> \(P\le\frac{3}{4}\)

Vậy P max \(=\frac{3}{4}\)<=> \(a=b=c\)

do vai trò a,b là như nhau nên không giảm tính tổng quát, giả sử \(a\le b\)

Nếu \(a\ge3\)thì \(b\ge a\ge3\)nên

\(\frac{ab+1}{a+b}\ge\frac{3b+1}{a+b}\ge\frac{3b+1}{2b}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2b}>\frac{3}{2}\)( ko thỏa mãn điều kiện )

do đó a < 3 \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a=1\\a=2\end{cases}}\)

+) nếu a = 1 thì \(P=\frac{a^3b^3+1}{a^3+b^3}=\frac{b^3+1}{b^3+1}=1\)

+) nếu a = 2 thì từ điều kiện ta có : \(\frac{2b+1}{2+b}< \frac{3}{2}\Rightarrow4b+2< 6+3b\Rightarrow b< 4\Rightarrow b\in\left\{1;2;3\right\}\)

b = 1 thì P = 1

b = 2 thì P = \(\frac{65}{16}\)

b = 3 thì P = \(\frac{217}{35}\)

Từ các giá trị trên của P ta thấy giá trị lớn nhất của P là \(\frac{217}{35}\) khi a = 2 ; b = 3 hoặc a = 3 ; b = 2

Từ \(a+b+ab=3\Rightarrow a+b=3-ab\ge3-\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)

\(\Rightarrow\left(a+b+6\right)\left(a+b-2\right)\ge0\Rightarrow a+b\ge2\)

Biến đổi bài toán như sau: 

\(P=\frac{3a}{b+1}+\frac{3b}{a+1}+\frac{ab}{a+b}-a^2-b^2\le\frac{3}{2}\)

Tức là chứng minh \(\frac{3}{2}\) là GTLN của \(P\)

\(P=\frac{3\left(a^2+b^2\right)+3\left(a+b\right)}{ab+a+b+1}+\frac{3-a-b}{a+b}-\left(a+b\right)^2++2\left(3-a-b\right)\)

\(=\frac{3}{4}\left[3\left(a+b\right)^2-6\left(3-a-b\right)+3\left(a+b\right)\right]\)

\(+\frac{3}{a+b}-1-\left(a+b\right)^2+6-2\left(a+b\right)\)

Khảo sat đồ thì trên \(a+b\ge2\) tìm tìm được \(P_{Max}=\frac{3}{2}\)

P/s:giờ mk đi ngủ, mệt r` chỗ nào khó hiểu mai hỏi :D

ta có: \(VT=\frac{a\left(a+b+ab\right)}{b+1}+\frac{b\left(a+b+ab\right)}{a+1}+\frac{ab}{a+b}\)

\(=a^2+b^2+\frac{ab}{a+b}+\frac{ab}{a+1}+\frac{ab}{b+1}\)

cần cm \(\frac{ab}{a+b}+\frac{ab}{a+1}+\frac{ab}{b+1}\le\frac{3}{2}\)

theo giả thiết \(4=\left(a+1\right)\left(b+1\right)\le\frac{1}{4}\left(a+b+2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a+b\ge2\)

ta có: \(\frac{ab}{a+b}=\frac{ab+a+b}{a+b}-1=\frac{3}{a+b}\le\frac{3}{2}-1\)(*)

\(\frac{ab}{a+1}+\frac{ab}{b+1}\le\frac{1}{4}\left(b+ab\right)+\frac{1}{4}\left(a+ab\right)=\frac{1}{4}\left(3+ab\right)\)(**)

giờ cần tìm max ab.để ý rằng \(ab=ab+a+b-\left(a+b\right)=3-\left(a+b\right)\le3-2=1\)

khi đó \(\frac{ab}{a+b}+\frac{ab}{a+1}+\frac{ab}{b+1}\le\frac{3}{2}-1+\frac{1}{4}\left(3+1\right)=\frac{3}{2}\)(đpcm)

dấu = xảy ra khi a=b=1

#)Trả lời :

\(VT=\frac{3a}{1+b^2}+\frac{3b}{1+c^2}+\frac{3c}{a+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+a^2}\)

Tách VT = A + B và xét :

\(A=\frac{3a}{1+b^2}+\frac{3b}{1+c^2}+\frac{3b}{1+a^2}=\)\(\sum\)\(\left(3a-\frac{3ab^2}{1+b^2}\right)\ge\)\(\sum\)\(\left(3a-\frac{3ab}{2}\right)\)

\(B=\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+a^2}=\)\(\sum\)\(\left(1-\frac{b^2}{1+b^2}\right)\ge\)\(\sum\)\(\left(1-\frac{b}{2}\right)\)

\(\Rightarrow VT=A+B=3+\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{2}\)\(\sum\)\(ab=\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{15}{2}-\frac{3}{2}=6\)

( Do \(a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}=3\))

Dấu ''='' xảy ra khi a = b = c = 1

Tham khảo nhé ^^

làm như giỏi lắm í, thôi khỏi nói cũng biết, ko cần thể hiện đâu

\(A=\frac{a}{\sqrt{3+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{3+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{3+c^2}}\)

     \(=\frac{a+b+c}{\sqrt{3+a^2}+\sqrt{3+b^2}+\sqrt{3+c^2}}\)

Ta có: \(\sqrt{3+a^2}+\sqrt{3+b^2}+\sqrt{3+c^2}\)

\(=\sqrt{ab+bc+ac+a^2}+\sqrt{ab+bc+ac+b^2}+\sqrt{ab+bc+ca+c^2}\)

\(=\sqrt{b\left(a+c\right)+a\left(a+c\right)}+\sqrt{b\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)}+\sqrt{b\left(a+c\right)+c\left(a+c\right)}\)

\(=\sqrt{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}+\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)

\(\le\frac{a+c+a+b}{2}+\frac{a+b+b+c}{2}+\frac{a+c+b+c}{2}\)

\(\le\frac{2a+a+2b+b+2c+c}{2}=\frac{3a+3b+3c}{2}=\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)

Suy ra : \(A=\frac{a+b+c}{\sqrt{3+a^2}+\sqrt{3+b^2}+\sqrt{3+c^2}}\ge\frac{2}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=0

Vậy A_min = \(\frac{2}{3}\)

Chắc sai. Mong bạn giúp đỡ. Cảm ơn!

Hình như đề là tìm min mới đúng chứ Incursion_03 ? nếu tìm max khúc cuối bđt nó sẽ đổi chiều thế này:

* Nếu là tìm max

Ta có: \(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(b^2+c^2+a^2\right)\ge\left(ab+bc+ca\right)^2=3^2=9\) (BĐT Bunhiaxcopki)

Hay \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge9\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\)

Mặt khác,ta lại có:

\(A^2=\frac{a^2}{3+a^2}+\frac{b^2}{3+b^2}+\frac{c^2}{3+c^2}\)

\(=\left(1+1+1\right)-\left(\frac{3}{3+a^2}+\frac{3}{3+b^2}+\frac{3}{3+c^2}\right)\)

\(=3-3\left(\frac{1}{3+a^2}+\frac{1}{3+b^2}+\frac{1}{3+c^2}\right)\)

\(\le3-\frac{27}{9+a^2+b^2+c^2}\ge3-\frac{27}{9+3}=\frac{3}{4}?!?\)

Suy ra \(A_{max}=\frac{\sqrt{3}}{2}?!?\)

Hồi nữa tui đăng bài tìm min lên sau.