Question

Cho \(a,b\inℕ^∗\)thỏa mãn \(\frac{ab+1}{a+b}< \frac{3}{2}\). Tìm Max \(P=\frac{a^3b^3+1}{a^3+b^3}\)

P/S: giả thiết ko liên quan càng tốt )

Answer 1

Ko mất tính tổng quát, giả sử \(a\le b\)

+) Với a= 1

\(\Rightarrow\frac{b+1}{b+1}< \frac{3}{2}\Rightarrow1< \frac{3}{2}\left(TM\right)\)

Khi đó \(P=\frac{b^3+1}{b^3+1}=1\)

+) Với a=2

\(\Rightarrow\frac{2b+1}{b+2}< \frac{3}{2}\Leftrightarrow b< 4\) Mà \(b\ge a=2\Rightarrow b\in\left\{2;3\right\}\) 

* Khi b=2 \(\Rightarrow A=\frac{65}{16}\)

* Khi b=3 \(\Rightarrow A=\frac{31}{5}\)

+) Với \(a\ge3\)

\(\Rightarrow\frac{ab+1}{a+b}\ge\frac{3b+1}{2b}>\frac{3}{2}\left(KTM\right)\)

Vậy ...