Với $a,b,c>0$ thì $a^3+b^3+3abc> ab(a+b+c)$ chứ không có dấu "=" nhé bạn. Còn về cách làm thì bạn Trương Huy Hoàng đã làm rất chi tiết rồi.

a³ + b³ + 3abc \(\ge\) ab(a + b + c)

\(\Leftrightarrow\) a³ + b³ + 3abc - a²b - ab² - abc \(\ge\) 0

\(\Leftrightarrow\) a³ + b³ + 2abc - a²b - ab² \(\ge\) 0

\(\Leftrightarrow\) a²(a - b) - b²(a - b) + 2abc \(\ge\) 0

\(\Leftrightarrow\) (a - b)(a² - b²) + 2abc \(\ge\) 0

\(\Leftrightarrow\) (a - b)²(a + b) + 2abc \(\ge\) 0 (luôn đúng với mọi a, b, c > 0)

Chúc bn học tốt!

bạn ơi, bài này sai đề rồi

Ta có: BĐT\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{a+b}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{b}{b+c}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{c}{c+a}-\dfrac{1}{2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2a-\left(a+b\right)}{2\left(a+b\right)}+\dfrac{2b-\left(b+c\right)}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{2c-\left(c+a\right)}{2\left(c+a\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a-b}{2\left(a+b\right)}+\dfrac{b-c}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{c-a}{2\left(c+a\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a-b}{2\left(a+b\right)}+\dfrac{b-a+a-c}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{c-a}{2\left(c+a\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a-b}{2}\left(\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{b+c}\right)+\dfrac{a-c}{2}\left(\dfrac{1}{b+c}-\dfrac{1}{c+a}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a-b}{2}\left(\dfrac{c-a}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{a-c}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\) (đúng)

Vậy BĐT luôn đúng với \(a\ge b\ge c>0\)

tham khảo tại đây-_-

Câu hỏi của Nguyễn Thị Bình Yên - Toán lớp 8 | Học trực tuyến

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức

\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{2}\) ( đpcm )

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c\)

Tham khảo ở đây có đủ các cách cho bạn chọn lựa

Từ "Siêu tốc thần sầu" đến "tập thể dục" tha hồ luyện

!!!

https://hoc24.vn/hoi-dap/question/196314.html

For \(a\geq b\geq c>0\) we obtain:

\(\sum_{cyc}\frac{a}{a+b}-\frac{3}{2}=\sum_{cyc}\left(\frac{a}{a+b}-\frac{1}{2}\right)=\sum_{cyc}\frac{a-b}{2(a+b)}\)

\(=\sum_{cyc}\frac{(a-b)(c^2+ab+ac+bc)}{2\prod\limits_{cyc}(a+b)}=\sum_{cyc}\frac{c^2a-c^2b}{2\prod\limits_{cyc}(a+b)}\)

\(=\sum_{cyc}\frac{a^2b-a^2c}{2\prod\limits_{cyc}(a+b)}=\frac{(a-b)(a-c)(b-c)}{2\prod\limits_{cyc}(a+b)}\geq0\)

Ta có: \(\frac{a^3}{a^2+b^2}=\frac{\left(a^3+ab^2\right)-ab^2}{a^2+b^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2ab}=a-\frac{b}{2}\)

Tương tự CM được:

\(\frac{b^3}{b^2+c^2}\ge b-\frac{c}{2}\) và \(\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge c-\frac{a}{2}\)

Cộng vế 3 BĐT trên lại ta được: 

\(\frac{a^3}{b^2+c^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge\frac{a+b+c}{2}=3\)

Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c = 2

Bài này cách làm ntn

Áp dụng BĐT \(x^2+y^2\ge2xy\) ( với a,b,c>0) ta có:

\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{a\left(b+c\right)}{4}=\frac{a^4}{a\left(b+c\right)}+\frac{a\left(b+c\right)}{4}\ge a^2\)           (1)

CMTT ta được

\(\frac{b^3}{a+c}+\frac{b\left(a+c\right)}{4}\ge b^2\)                             (2)

\(\frac{c^3}{a+b}+\frac{c\left(a+b\right)}{4}\ge c^2\)                             (3)

Cộng lần lượt từng vế của 3 BĐT (1);(2);(3) ta được:

\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}+\frac{a\left(b+c\right)}{4}+\frac{b\left(c+a\right)}{4}+\frac{c\left(a+b\right)}{4}\ge a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}+\frac{2\left(ab+bc+ac\right)}{4}\ge a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}\ge a^2+b^2+c^2-\frac{ab+bc+ca}{2}\)                 (*)

Áp dụng BĐT \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)với 3 số a,b,c>0 ta được:

\(\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\ge\frac{ab+bc+ca}{2}\)

Thay vào pt (*) ta được:

\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}\ge a^2+b^2+c^2-\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\left(đpcm\right)\)

k tớ nha !!!