Trước tiên ta cần chứng minh :

\(a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

Trong 3 số : \(\hept{\begin{cases}a-1\\b-1\\c-1\end{cases}}\) sẽ có ít nhất 2 số cùng dấu 

Giả sử hai số đó là : \(a-1,b-1\)

\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)

\(\Rightarrow2c\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)

\(\Rightarrow2abc\ge2\left(ac+bc-c\right)\)

Giờ ta cần chứng minh : \(a^2+b^2+c^2+2\left(ac+bc-c\right)+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow b^2-2ab+a^2+c^2-2c+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(b-a\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge0\) ( đúng )

\(\Rightarrow\) ta có đpcm 

Quay lại bài toán ban đầu ta có :

\(P=a^2+b^2+c^2+2abc+\frac{18}{ab+bc+ac}\ge2\left(ab+bc+ca\right)-1+\frac{18}{ab+bc+ca}\)

\(\ge2.2.3\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{ab+bc+ca}}-1=11\)

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Chúc bạn học tốt !!!

Vai trò của a, b, c là bình đẳng, không mất tính tổng quát, giả sử \(c=min\left\{a,b,c\right\}\)

Ta có BĐT quen thuộc sau: \(a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

Có: \(VT-VP=\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\left(a+b+2\sqrt{ab}-2c\right)+\left(c-1\right)^2+2c\left(\sqrt{ab}-1\right)^2\ge0\)(vì \(c=min\left\{a,b,c\right\}\)) 

Từ đó \(P\ge2\left(ab+bc+ca\right)+\frac{18}{ab+bc+ca}-1\)

\(\ge2\sqrt{2\left(ab+bc+ca\right).\frac{18}{ab+bc+ca}}-1=11\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c =  1

Hoàng Việt Nhật: Trả lời kiểu gì mà nhanh vậy, t mất 3 phút để nhớ lại cái BĐT phụ này.

\(P=\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+\frac{a^2c+b^2c}{c^3+abc}+\frac{b^2a+c^2a}{a^3+abc}+\frac{c^2b+a^2b}{b^3+abc}\)

\(\ge\frac{a^3}{2abc}+\frac{b^3}{2abc}+\frac{c^3}{2abc}+\frac{2abc}{c^3+abc}+\frac{2abc}{a^3+abc}+\frac{2abc}{b^3+abc}\)

\(=\left(\frac{a^3}{2abc}+\frac{2abc}{a^3+abc}\right)+\left(\frac{b^3}{2abc}+\frac{2abc}{b^3+abc}\right)+\left(\frac{c^3}{2abc}+\frac{2abc}{c^3+abc}\right)\)

Xét: \(\frac{a^3}{2abc}+\frac{2abc}{a^3+abc}=\frac{a^3}{2abc}+\frac{1}{2}+\frac{1}{\frac{a^3}{2abc}+\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}\ge2\sqrt{\left(\frac{a^3}{2abc}+\frac{1}{2}\right).\frac{1}{\frac{a^3}{2abc}+\frac{1}{2}}}-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)

Tương tự với 2 cặp còn lại

Vậy ta có: \(P\ge\frac{3}{2}+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\)

"=" xảy ra <=> a=b=c

kết bạn với mình

Cảm ơn chị Nguyễn Linh Chi :)))

Theo nguyên lý diriclet ta có

Trong 3 số (a-1);(b-1);(c-1) luôn có hai số cùng dấu

Giả sử (a-1);(b-1) cùng dấu

=> \(c\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)

=> \(abc\ge ac+bc-c\)

Lại có \(a^2+b^2\ge2ab\)

        \(c^2+1\ge2c\)

Khi đó 

\(P\ge2ab+2c-1+2\left(ac+bc-c\right)+\frac{18}{ab+bc+ac}\)

=> \(P\ge2\left(ab+bc+ac\right)+\frac{18}{ab+bc+ac}-1\ge2\sqrt{2.18}-1=11\)

Vậy \(MinP=11\)khii a=b=c=1

Cho a,b,c là các số thực dương:
Chứng minh rằng:

Ta thấy trong ba số thực dương luôn tồn tại hai số cùng lớn hơn hay bằng hoặc nhỏ hơn hay bằng . Giả sử đó là và .

Khi đó ta có: suy ra

Do đó,

Nên bây giờ ta chỉ cần chứng minh:

(đúng)

Bài toán được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi .

24+t−94(∗)
Xét hàm (∗) được: MinF(t)=F(23)=−19
⇒MinP=MinF(t)=−19.dấu "=" xảy ra khi a=b=c=13

Gọi \(S=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+ab+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ab+a^2}\)

Dễ thấy \(P-S=0\)

\(\Rightarrow2P=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+ab+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ab+a^2}\)

Ta chứng minh: 

\(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{a+b}{3}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)

\(\Rightarrow2P\ge\frac{a+b}{3}+\frac{b+c}{3}+\frac{c+a}{3}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}=2\)

\(\Rightarrow P\ge1\)

P-S=0 ?? =))

Có 2 cáchm cách 1 dài nên làm cách 2 cho ngắn

Áp dụng BĐT AM-GM ta có

\(\left(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ac}{c}\right)^2\ge3\left(\frac{bc}{a}\cdot\frac{ca}{b}+\frac{bc}{a}\cdot\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\cdot\frac{ab}{c}\right)=3\left(a^2+b^2+c^2\right)=3\) 

\(\Rightarrow P\ge\sqrt{3}\). Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(P\ge\dfrac{3abc}{2abc}+\dfrac{a^2+b^2}{c^2+\dfrac{a^2+b^2}{2}}+\dfrac{b^2+c^2}{a^2+\dfrac{b^2+c^2}{2}}+\dfrac{c^2+a^2}{b^2+\dfrac{c^2+a^2}{2}}\)

\(P\ge\dfrac{3}{2}+2\left(\dfrac{a^2+b^2}{a^2+c^2+b^2+c^2}+\dfrac{b^2+c^2}{a^2+b^2+a^2+c^2}+\dfrac{a^2+c^2}{a^2+b^2+b^2+c^2}\right)\)

Đặt \(\left(a^2+b^2;b^2+c^2;a^2+c^2\right)=\left(x;y;z\right)\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3}{2}+2\left(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}\right)=\dfrac{3}{2}+2\left(\dfrac{x^2}{xy+xz}+\dfrac{y^2}{yz+xy}+\dfrac{z^2}{xz+yz}\right)\)

\(P\ge\dfrac{3}{2}+\dfrac{2\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\dfrac{3}{2}+\dfrac{3\left(xy+yz+zx\right)}{xy+yz+zx}=3+\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)