Cho x,y,z>0 xyz=1 CMR :
\(\frac{xy}{x^5+xy+y^5}+\frac{yz}{y^5+yz+z^5}+\frac{xz}{x^5+xz+y^5}\le1\)
giúp mik nha đang cần gấp
Cho x, y, z > 0 thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh :
\(\frac{xy}{x^5+xy+y^5}+\frac{yz}{y^5+yz+z^5}+\frac{zx}{z^5+zx+x^5}\le1\)
ủa đây là toám lớp 1 hả anh
Forever_Alone tên là Anh nhưng ko bt họ
Cho \(0< x,y,z\le1\). CMR: \(\frac{x}{1+y+xz}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}< \frac{3}{x+y+z}\)
Do \(0< x;y;z\le1\Rightarrow\left(x-1\right)\left(z-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow xz-x-z+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow xz+1\ge x+z\Rightarrow1+y+xz\ge x+y+z\)
\(\Rightarrow\frac{x}{1+y+xz}\le\frac{x}{x+y+z}\)
Hoàn toàn tương tự: \(\frac{y}{1+z+xy}\le\frac{y}{x+y+z}\) ; \(\frac{z}{1+x+yz}\le\frac{z}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{x+y+z}{x+y+z}\le\frac{3}{x+y+z}\) (do \(x;y;z\le1\Rightarrow x+y+z\le3\))
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\)
\(0\le x,y,z\le1\\ CMR\\ \frac{x}{yz+1}+\frac{y}{xz+1}+\frac{z}{xy+1}\le2\)
Cho các số dương x, y, z. CMR:
\(\frac{xy}{x^2+yz+xz}+\frac{yz}{y^2+xy+xz}+\frac{xz}{z^2+yz+xy}\le\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+xz}\)
Bunhiacopxki: \(\left(x^2+yz+zx\right)\left(y^2+yz+zx\right)\ge\left(xy+yz+zx\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{xy}{x^2+yz+zx}\le\frac{xy\left(y^2+yz+zx\right)}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)
Thiết lập tương tự và cộng lại:
\(\Rightarrow VT\le\frac{xy\left(y^2+yz+zx\right)+yz\left(z^2+xy+zx\right)+zx\left(x^2+yz+xy\right)}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)
\(VT\le\frac{xy^3+xy^2z+x^2yz+yz^3+xy^2z+xyz^2+x^3z+xyz^2+x^2yz}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)
Ta chỉ cần chứng minh: \(\frac{xy^3+xy^2z+x^2yz+yz^3+xy^2z+xyz^2+x^3z+xyz^2+x^2yz}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\le\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}\)
\(\Leftrightarrow xy^3+xy^2z+x^2yz+yz^3+xy^2z+xyz^2+x^3z+xyz^2+x^2yz\le\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2yz+xy^2z+xyz^2\le x^3y+y^3z+z^3x\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}\ge x+y+z\) (đúng theo Cauchy-Schwarz)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
Cho các số dương x, y, z. CMR:
\(\frac{xy}{x^2+yz+xz}+\frac{yz}{y^2+xy+xz}+\frac{xz}{z^2+xz+xy}\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+xz}\)
BĐT của bạn bị ngược dấu, mà có vẻ các mẫu số cũng ko đúng (để ý mẫu số thứ 2 và thứ 3 đều có chung xy+xz ko hợp lý)
Cho biết:
xyz=1
Tính gt A=\(\frac{x}{xy+x+1}=\frac{y}{yz+y+1}=\frac{z}{xz+x+1}\)
Giúp mik vs, mik đang gấp ạ!
Ta có:\(\frac{x}{xy+x+1}=\frac{y}{yz+y+1}=\frac{z}{xz+x+1}\)=\(\frac{xz}{xyz+xz+z}=\frac{yxz}{xyz^2+yxz+xz}=\frac{z}{xz+z+1}\)
=\(\frac{xz}{1+xz+z}=\frac{xyz}{z+1+xz}=\frac{z}{xz+z+1}\)
=\(\frac{xyz+xz+1}{xyz+xz+1}\)=1
Đề bn ghi sai nha~~
cho \(0\le x;y;z\le1.\)CMR:\(\frac{x}{1+y+xz}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}\le\frac{3}{x+y+z}\)
Vì \(0\le x,y,z\le1\)
\(\Rightarrow xy\le y\)
\(x^2\le1\)
\(\Rightarrow x^2+xy+xz\le xz+y+1\)
\(\Leftrightarrow x\left(x+y+z\right)\le1+y+xz\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x}{1+y+xz}\le\frac{1}{x+y+z}\)
CMTT : các vế khác cug vậy
cộng các vế vào là đc
\(0\le x;y;z\le1\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow xy-x-y+1\ge0\)
\(\Rightarrow xy+1\ge x+y\)
Tương tự ta chứng minh được \(xz+1\ge x+z\)và \(yz+1\ge y+z\)
\(\Rightarrow\frac{x}{1+y+xz}\le\frac{x}{x+y+z}\le\frac{1}{x+y+z}\)(\(x\le1\))
\(\Rightarrow\frac{y}{1+z+xy}\le\frac{y}{x+y+z}\le\frac{1}{x+y+z}\)(\(y\le1\))
\(\Rightarrow\frac{z}{1+x+yz}\le\frac{z}{x+y+z}\le\frac{1}{x+y+z}\)\(z\le1\))
\(\Rightarrow\frac{x}{1+y+xz}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}\le\frac{3}{x+y+z}\)(đpcm)
Đề chuyên Sư Phạm năm 2020 nè !!!!!!!
CM nếu \(\frac{x^2-yz}{x\left(1-yz\right)}=\frac{y^2-xz}{y\left(1-xz\right)}\)
với \(x\ne y,xyz\ne0,yz\ne1,xz\ne1\)
thì xy+xz+yz=xyz(x+y+z)
GIÚP MÌNH VỚI MỌI NGƯỜI ƠI, MÌNH CẦN GẤP
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau lf ra
Cho \(0\le x,y,z\le1\). CMR:
\(\frac{x}{1+y+xz}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}\le\frac{3}{x+y+z}\)
Do \(0\le x,y,z\le1\)\(\Rightarrow x\ge x^2;y\ge y^2;z\ge z^2\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(z-1\right)\ge0\Rightarrow xz-x-z+1\ge0\Rightarrow xz+y+1\ge x+y+z\ge x^2+y^2+z^2\)
\(\Rightarrow\frac{x}{1+y+xz}\le\frac{x}{x+y+z}\le\frac{x}{x^2+y^2+z^2}\)
Tương tự rồi cộng từng vế, ta có:
\(\frac{x}{1+y+xz}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}\le\frac{x+y+z}{x^2+y^2+z^2}\le\frac{3}{x+y+z}\)
=> ĐPCM