Lời giải:

Sử dụng PP khai triển :

\(\frac{a+b}{\sqrt{a(3a+b)+b(3b+a)}}\geq \frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow \frac{(a+b)^2}{a(3a+b)+b(3b+a)}\geq \frac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow 4(a+b)^2\geq a(3a+b)+b(3b+a)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+6ab\geq 0\)

\(\Leftrightarrow (a+b)^2+4ab\geq 0\). Điều này luôn đúng với \(a,b\geq 0\) tuy nhiên dấu bằng không xảy ra do \(a,b\neq 0\)

Do đó: \(\frac{a+b}{\sqrt{a(3a+b)+b(3b+a)}}> \frac{1}{2}\)

mk nghĩ đề bài như này ms đúng chứ

\(\dfrac{a+b}{\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}}\ge\dfrac{1}{2}\)

vs a,b>0

cm \(vt=\dfrac{2\left(a+b\right)}{\sqrt{4a\left(3a+b\right)}+\sqrt{4b\left(3b+a\right)}}\)

\(\ge\dfrac{2\left(a+b\right)}{\dfrac{4a+3a+b}{2}+\dfrac{4b+3b+a}{2}}=\dfrac{2\left(a+b\right)}{\dfrac{8\left(a+b\right)}{2}}=\dfrac{1}{2}\)(dpcm)

dau = xay ra khi a=b>0

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}\)

\(\le\sqrt{\left(a+b\right)\left(3a+b+3b+a\right)}\)

\(=\sqrt{4\left(a+b\right)^2}=2\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}}\ge\frac{a+b}{2\left(a+b\right)}=\frac{1}{2}\)

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có:

\(\frac{a+b}{\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}}=\frac{1}{2}\)

Ta có: 

\(\frac{a+b}{\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}}=\frac{2\left(a+b\right)}{\sqrt{4a\left(3a+b\right)}+\sqrt{4b\left(3b+a\right)}}\)

\(\ge\frac{2\left(a+b\right)}{\frac{4a+3a+b}{2}+\frac{4b+3b+a}{2}}=\frac{2\left(a+b\right)}{4\left(a+b\right)}=\frac{1}{2}\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có: 

\(\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}=\sqrt{a}\sqrt{3a+b}+\sqrt{b}\sqrt{3b+a}\)

\(\le\sqrt{\left(a+b\right)\left(3a+b+3b+a\right)}=2\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}}\ge\frac{a+b}{2\left(a+b\right)}=\frac{1}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b\)

em mới học lớp 6 thôi,bài này đối với em quá khó ,mong chị thông cảm và chúc chị học giỏi

a.

\(\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\dfrac{x}{x+\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}}=\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}\le\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\le\dfrac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

Tương tự:

\(\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}\le\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\) ; \(\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\dfrac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

Cộng vế:

\(VT\le\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\dfrac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

b.

\(VP=\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{2\sqrt{4a\left(a+3b\right)}+2\sqrt{4b\left(b+3c\right)}+2\sqrt{4c\left(c+3a\right)}}\)

\(VP\ge\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{4a+a+3b+4b+b+3c+4c+c+3a}\)

\(VP\ge\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{8\left(a+b+c\right)}=\dfrac{1}{2}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Xem lại câu hỏi