Lời giải:
Sử dụng PP khai triển :
\(\frac{a+b}{\sqrt{a(3a+b)+b(3b+a)}}\geq \frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow \frac{(a+b)^2}{a(3a+b)+b(3b+a)}\geq \frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow 4(a+b)^2\geq a(3a+b)+b(3b+a)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+6ab\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (a+b)^2+4ab\geq 0\). Điều này luôn đúng với \(a,b\geq 0\) tuy nhiên dấu bằng không xảy ra do \(a,b\neq 0\)
Do đó: \(\frac{a+b}{\sqrt{a(3a+b)+b(3b+a)}}> \frac{1}{2}\)
mk nghĩ đề bài như này ms đúng chứ
\(\dfrac{a+b}{\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}}\ge\dfrac{1}{2}\)
vs a,b>0
cm \(vt=\dfrac{2\left(a+b\right)}{\sqrt{4a\left(3a+b\right)}+\sqrt{4b\left(3b+a\right)}}\)
\(\ge\dfrac{2\left(a+b\right)}{\dfrac{4a+3a+b}{2}+\dfrac{4b+3b+a}{2}}=\dfrac{2\left(a+b\right)}{\dfrac{8\left(a+b\right)}{2}}=\dfrac{1}{2}\)(dpcm)
dau = xay ra khi a=b>0
