a)

`a<b`

`<=>3a<3b`

`<=>3a-5<3b-5`

b)

`a<b`

`<=>-8a> -8b`

`<=>-8a-3> -8b-3`

c)

`a<b`

`<=>4a<4b`

`<=>4a+9<4b+9`

mà `4a-7<4a+9`

`<=>4a-7<4b+9`

\(\dfrac{a^2}{\sqrt{3a^2+14ab+8b^2}}=\dfrac{a^2}{\sqrt{\left(a+4b\right)\left(3a+2b\right)}}\ge\dfrac{2a^2}{a+4b+3a+2b}=\dfrac{a^2}{2a+3b}\)

Tương tự và cộng lại:

\(VT\ge\dfrac{a^2}{2a+3b}+\dfrac{b^2}{2b+3c}+\dfrac{c^2}{2c+3a}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{5a+5b+5c}=\dfrac{a+b+c}{5}\) (đpcm)

Ta có: 

\(\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}=\sqrt{\left(3a+2b\right)\left(a+4b\right)}\le2a+3b\)

Khi đó \(\frac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}\ge\frac{a^2}{2a+3b}\), tương tự ta có:

\(\frac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}+\frac{b^2}{\sqrt{3b^2+8c^2+14bc}}+\frac{c^2}{\sqrt{3c^2+8a^2+14ca}}\)

\(\ge\frac{a^2}{2a+3b}+\frac{b^2}{2b+3c}+\frac{c^2}{2c+3a}\)\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{5\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{5}\)

Lời giải:
Gọi số hs lớp 8A là $a$ thì số hs lớp 8B là: $a-2-2=a-4$ (hs) 

Theo bài ra ta có:

$a-4-5=(a+5)\frac{2}{3}$

$\Leftrightarrow a-9=\frac{2}{3}(a+5)$

$\Leftrightarrow 3(a-9)=2(a+5)$

$\Leftrightarrow a=37$ (hs) 

Vậy số hs lớp 8A là $37$, số hs lớp 8B là $37-4=33$ (hs)

Gọi số học sinh lớp 8A là x(học sinh)(x∈N^*;x>5)

thì số học sinh lớp 8B là x-5 (học sinh)

Theo bài ra ta có pt: 

x-10=\(\dfrac{7}{10}\)(x+5)

⇔x-10=0,7x+3,5

⇔0,3x=13,5

⇔     x=45(t/m)

Vậy số học sinh lớp 8A là 45 học sinh; số học sinh lớp 8B là 45-5=40 học sinh

Đặt PT đã cho ở đề là A

Ta có : \(\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}=\sqrt{3a\left(a+4b\right)+2b\left(a+4b\right)}=\sqrt{\left(3a+2b\right)\left(a+4b\right)}\)

\(\le\dfrac{3a+2b+a+4b}{2}=\dfrac{4a+6b}{2}=2a+3b\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}\ge\dfrac{a^2}{2a+3b}\)

Làm tương tự như trên , ta có :

\(\dfrac{b^2}{\sqrt{3b^2+8c^2+14bc}}\ge\dfrac{b^2}{2b+3c};\dfrac{c^2}{\sqrt{3c^2+8a^2+14ac}}\ge\dfrac{c^2}{2c+3a}\)

Nên : \(A\ge\dfrac{a^2}{2a+3b}+\dfrac{b^2}{2b+3c}+\dfrac{c^2}{2c+3a}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{5\left(a+b+c\right)}=\dfrac{5}{a+b+c}\left(đpcm\right)\)

\(\frac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+12ab+2ab}}\ge\frac{a^2}{\sqrt{3a^2+9b^2+12ab+a^2+b^2}}=\frac{a^2}{\sqrt{\left(2a+3b\right)^2}}=\frac{a^2}{2a+3b}\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{a^2}{2a+3b}+\frac{b^2}{2b+3c}+\frac{c^2}{2c+3a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{5\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{5}\left(a+b+c\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)